Съдържание

НОА 2006, IV кръг, Младша възраст — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · КОМИСИЯ ПО ПРОВЕЖДАНЕТО НА ІХ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА · ПО АСТРОНОМИЯ · ІV КРЪГ · 15 юли 2006 г., гр. Стара Загора · Ученици младша възраст · 15 юли 2006 г.

Условие

Ярка мъглявина с видим размер $1^\circ$ представлява остатък от взрив на свръхнова, който е станал преди 10 000 години. През мъглявината се виждат добре по-далечни обекти, а в нейния спектър присъства ярка широка линия на водорода H $_\alpha$ . Линията се простира в област от дължини на вълните от 6541 до 6585 ангстрьома. Мъглявината се осветява от намиращата се съвсем наблизо много гореща звезда от спектрален клас O, чиито видим блясък е $3^m$ .

Оценете линейния размер на мъглявината.

Оценете светимостта на горещата звезда в единици светимост на Слънцето.

Какво може да се каже за радиуса на звездата в сравнение с радиуса на Слънцето?

Справочни данни:

Абсолютна звездна величина на Слънцето $4^m.76$

Отговори

Решение

Решение: Размиването на водородната линия в спектъра на мъглявината се дължи на продължаващото разширение на мъглявината след избухването на звездата. Тъй като през мъглявината се виждат по-далечни обекти, то тя е достатъчно прозрачна. Това означава, че към нас идва светлина от целия обем на мъглявината. Приемаме, че поради разширението на мъглявината, веществото от най-предната – най-близката до нас нейна част се приближава към нас със скорост v относно центъра ѝ, а веществото от най-далечната част на мъглявината се отдалечава от нас със скорост −v. Ефектът на Доплер води до разширение на спектралната линия в област от λ₁ = 6541 Å до λ₂ = 6585 Å. Скоростта v намираме от съотношението:

\frac{v}{c}=\frac{1}{2}\,\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_0}

където c е скоростта на светлината, а λ₀ = (λ₁ + λ₂)/2 е дължината на вълната, съответстваща на средата на интервала, в който се простира спектралната линия, или на светлината, идваща от централната част на мъглявината. Така получаваме:

v=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}c

Щом взривът на свръхновата е станал преди време t = 10 000 години, то можем да оценим нейния линеен размер:

d=2vt=2\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}ct\approx0.0067c\times10000\ \text{г.}=67\ \text{светлинни години}\approx20\ \mathrm{pc}

Видимият ъглов размер на мъглявината е α = 1°. Чрез него пресмятаме и разстоянието до нея:

r=\frac{d}{\alpha\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}\approx 3800\ \text{св. г.}\approx 1100\ \text{pc}

Тъй като горещата звезда от звездна величина $m=3^m$ е в съседство с мъглявината, ще смятаме, че и тя е на същото разстояние от нас. Абсолютната звездна величина на звездата $M$ намраме от съотношението:

M=m-5\lg r+5=-7^m.2

Като сравним с абсолютната звездна величина на Слънцето $M_S=4^m.76$ , за светимостта на звездата $L$ в единици светимост на Слънцето $L_S$ получаваме:

L=2.512^{M_S-M}L_S

L\approx61000L_S

Ако означим с $R$ и $R_S$ радиусите на звездата и на Слънцето, а с $T$ и $T_S$ – техните температури, то можем да напишем:

L=4\pi R^2\sigma T^4

L_S=4\pi R_S^2\sigma T_S^4

Където $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман. Разделяме почленно двете равенства:

\frac{L}{L_S}=\left(\frac{R}{R_S}\right)^2\left(\frac{T}{T_S}\right)^4

За отношението на радиусите на звездата и Слънцето е:

\frac{R}{R_S}=\left(\frac{T_S}{T}\right)^2\sqrt{\frac{L}{L_S}}

Температурата на горешите звезди от спектрален клас O е около 50 000 K, а на Слънцето около 6000 K. За радиусите получаваме:

R\approx3.6R_S

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Светлина и астрономически измервания · Доплерово отместване и червено отместване · Звездни величини · Абсолютно черно тяло

Предпоставки: Гимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOA4_2006_MLproblems.pdf · официални решения: NOA4_2006_MLsolutions.pdf