Съдържание

НОА 2006, IV кръг, Младша възраст — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · КОМИСИЯ ПО ПРОВЕЖДАНЕТО НА ІХ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА · ПО АСТРОНОМИЯ · ІV КРЪГ · 15 юли 2006 г., гр. Стара Загора · Ученици младша възраст · 15 юли 2006 г.

Условие

През лятото на 2026 г. астрономът Калоян Генков извършва наблюдения от борда на геостационарна космическа станция. В свободното си време той дава консултации по GSM на участниците в астрономическия лагер “The Dishes” в източната част на Африка с координати $\varphi = 0^\circ$ , $\lambda = 45^\circ$ . В помощ на обучението, Калоян решава да изпрати контейнер с научна информация и част от своите хранителни запаси до лагера.

Отговорете само качествено с каква скорост и в каква посока трябва да се изхвърли контейнерът от станцията, така че да пада вертикално към Земята.

Направете оценка за координатите на астрономическата обсерватория, над която се намира станцията. Приблизително в коя част на света е тя?

Влиянието на атмосферата да не се отчита.

Справочни данни:

Радиусът на геостационарната орбита е приблизително 7 пъти по-голям от радиуса на Земята.

Отговори

Решение

Решение: Геостационарният спътник се движи в екваториалната равнина на Земята по посока на нейното околоосно въртене с период $T$ , равен на едно звездно денонощие, или $23^{h}56^{m}$ . Радиуса на орбитата му означаваме с $r$ . За да пада контейнерът вертикално към Земята, той трябва да се изхвърли от спътника в посока, обратна на неговото движение, със скорост, равна по големина на скоростта на спътника.

За да оценим времето за падането на контейнера на Земята, предполагаме, че той се движи по много силно сплесната елиптична орбита около центъра на нашата планета с голяма полуос, равна на половината от радиуса на геостационарната орбита. Периодът на движение на спътника по такава орбита $T_1$ можем да намерим с помощта на III закон на Кеплер:

\frac{(r/2)^3}{T_1^2}=\frac{r^3}{T^2}

T_1=\frac{T}{2\sqrt{2}}

Времето за падането на контейнера ще бъде половината от този период, или:

t=\frac{T_1}{2}=\frac{T}{4\sqrt{2}}\approx4^{\mathrm h}14^{\mathrm m}

Но това е времето, за което контейнерът би паднал не до земната повърхност, а до центъра на Земята. Радиусът на Земята обаче, е само около 1/7 от радиуса на орбитата на спътника. Освен това за изминаването на тази последна 1/7 от пътя си до центъра на Земята, в случай, че цялата ѝ маса беше съсредоточена в една точка там, контейнерът би изразходвал много малко време в сравнение с останалата част от пътуването си, защото би се движил с много голяма скорост. Ето защо можем да пренебрегнем това и да считаме, че времето за падане на контейнера на земната повърхност е приблизително 4 часа. За тези 4 часа Земята ще се завърти на около 4×15° = 60° на изток. Ето защо точката на падането на контейнера ще бъде на 60° западно от обсерваторията, над която „виси” геостационарният спътник. Географските координати на обсерваторията ще бъдат φ = 0°, λ = 105°. Това е някъде в Индонезия.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Небесна механика · Време и календари · Закони на Кеплер · Орбитални преходи · Часови пояси и географска дължина

Предпоставки: Гимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOA4_2006_MLproblems.pdf · официални решения: NOA4_2006_MLsolutions.pdf