НОА 2007, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2

• $v = \frac{2\pi r}{T} \approx 30\ \text{км/сек},\qquad 2v\cos\beta = 95 - 65 = 30\ \text{км/сек},\qquad \cos\beta = \tfrac{1}{2},\qquad \beta = 60^\circ,\qquad \delta = 23.5^\circ \pm 60^\circ$

  Ректасцензия $6^{h}$ е ректасцензията на точката на лятното слънцестоене, чиято деклинация е $+23.5^\circ$. Ако измерванията не са направени точно в точките 1' и 2', деклинацията може да бъде между $23.5^\circ - \beta$ и $23.5^\circ + \beta$, т.е. от $-36.5^\circ$ до $+83.5^\circ$.

Промяната на наблюдаваната лъчева скорост на звездата по отношение на Земята се дължи на орбиталното движение на Земята около Слънцето. Скоростта, с която Земята обикаля около Слънцето, можем да пресметнем, като знаем разстоянието $r$ от Земята до Слънцето и орбиталния период на нашата планета $T = 1$ година:

Да предположим, че звездата лежи в равнината на земната орбита около Слънцето. Максималните отклонения на относителната лъчева скорост на звездата спрямо Земята от средната й стойност за една година ще се получават в точките 1 и 2. Разликата между измерените стойности на лъчевата скорост на звездата в тези две точки ще бъде $2v = 60$ км/сек. При зведата, разглеждана в задачата лъчевите скорости са измерени през интервал от време половин година, т.е. те се отнасят също за две диаметрално противоположни точки от земната орбита. Но разликата между тях е само:

Ако звездата лежи в равнината на земната орбита около Слънцето, това би означавало, че измерванията не са направени в точките 1 и 2, а в други две подходящо разположени противоположни точки. От условието на задачата обаче става ясно, че е реализирана другата възможност – звездата да не лежи в равнината на земната орбита или еклиптиката. Ще пресметнем максималното ъглово отстояние на звездата от орбиталната равнина на Земята (еклиптиката) – нейната еклиптична ширина $\beta$. При него, за да се получи дадената разлика между лъчевите скорости на звездата, измерванията трябва да са направени в точките 1' и 2' от земната орбита.

Тогава в случая, когато Земята е в точка 2', поради движението на Земята около Слънцето, към относителната лъчева скорост на звездата спрямо нас се добавя $v\cos\beta$. Това е проекцията на относителната скорост на звездата, дължаща се на земното движение, върху зрителния лъч към нас. Съответно, когато Земята е в точка 2', същата стойност ще трябва да се извади от лъчевата скоростна звездата. Така разликата между относителните лъчеви скорости на звездата спрямо нас в моментите, когато нашата планета е в точките 1' и 2' ще бъде $2v\cos\beta$. Така можем да пресметнем $\beta$ от следното съотношение:

Следователно, еклиптичната ширина на звездата може да е от $0^\circ$ до $\pm 60^\circ$. В условието е казано, че ректасцензията на звездата е $6^{h}$. Това е ректасцензията на точката на лятно слънцестоене. Тази точка, лежаща на еклиптиката, отстои от небесния екватор на $+23.5^\circ$. Това е нейната деклинация. Оттук следва, че деклинацията на звездата е $+83.5^\circ$ или $-36.5^\circ$.

При хипотеза, че измерените лъчеви скорости не са съответно минималната и максималната лъчева скорост на звездата, т.е. Земята не е в точките 1' и 2', в момента на наблюденията, то деклинацията може да бъде между $23.5^\circ - \beta$ и $23.5^\circ + \beta$, т.е. от $-36.5^\circ$ до $+83.5^\circ$.