Съдържание

НОА 2007, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2007

X Национална олимпиада по астрономия 2007, II кръг (областен), възрастова група 11-12 клас · 4 март 2007 г.

Условие

". . . Но на твоята толкова малка планета стигало ти е само да дръпнеш стола си на няколко крачки. И всеки път, когато ти се е поисквало, ти си гледал вечерната дрезгавина . . .

Един ден видях слънцето да залязва четиридесет и четири пъти!

И малко след това ти добави:

Знаеш ли. . . когато човек е много тъжен, обича слънчевите залези . . ."

Малкият принц, седнал на стол върху своята малка планета, с цитираните реплики от книгата, отпечатани в самата илюстрация.

Справочни данни:

Радиус на Земята – 6378 км	Гравитационна константа – $6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{м}^{3}\,/\,\mathrm{кг.сек}^{2}$
Радиус на Луната – 1738 км	Разстояние от Земята до Слънцето – $150 \times 10^{6}$ км
Маса на Земята – $5.98 \times 10^{24}$ кг	Разстояние от Венера до Слънцето - $108 \times 10^{6}$ км
Маса на Луната – $0.735 \times 10^{23}$ кг	Радиус на Слънцето 700 000 км

а) Ако астероидът на Малкия принц се завърта около оста си за 24 часа и той е видял четиридесет и четирите залеза за 3 часа, то на какво разстояние от Слънцето се е намирала тогава неговата планета?

б) Коя от планетите Малкият принц ще вижда по-ярка от своя астероид – Земята или Венера? Колко пъти видимият за него блясък на едната планета ще се отличава от блясъка на другата? Считайте, че всяка от планетите е в положение, при което има максимален блясък. Диаметрите на двете планети са приблизително еднакви, а албедото (отражателната способност) на Венера е два пъти по-голямо от това на Земята.

Отговори

Решение

За да направим пресмятанията, приемаме че Малкият принц наблюдава залезите от екватора на своя астероид. Нека залезът на Слънцето започва, когато най-долната точка на видимия слънчев диск докосне хоризонта, и завършва, когато Слънцето изцяло се скрие под хоризонта. Това означава, че за интервала от време, докато трае залезът, Слънцето изминава един свой видим ъглов диаметър при видимото си денонощно движение по небесната сфера. Астероидът на Малкия принц се завърта около оста си за 24 часа. Следователно за три часа Слънцето ще измине ъглово разстояние, равно на $360^\circ \times 3^{h}/24^{h} = 45^\circ$ . През тези три часа малкият принц е видял 44 слънчеви залеза, което означава, че Слънцето се е преместило на 44 свои ъглови диаметъра по небето. Следователно видимият от астероида ъглов диаметър на Слънцето е $45^\circ/44 \approx 1^\circ$ . Видимият от Земята ъглов диаметър на Слънцето е:

\delta = \frac{2R}{r}\cdot\frac{180^\circ}{\pi} \approx 0.5^\circ

където $R$ е радиусът на Слънцето, а $r$ е разстоянието от Земята до Слънцето. Оттук следва, че астероидът на Малкия принц се намира приблизително на двойно по-близко разстояние до Слънцето, отколкото нашата планета, или на разстояние $r_A$ = 150 000 000 / 2 = 75 000 000 км.

Осветеността $E$ , която Слънцето създава върху Земята, е обратно пропорционална на квадрата на разстоянието $r$ от Земята до Слънцето:

E \propto \frac{1}{r^{2}}

Видимият блясък на Земята за Малкия принц от неговия астероид се определя от осветеността, която Земята създава върху него. За нея можем да напишем:

E' \propto AE\cdot\frac{\pi R^{2}}{r'^{2}} \propto A\cdot\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{\pi R^{2}}{r'^{2}}

където $A$ е албедото на Земята, $R$ е радиусът й, а $r' = r - r_A$ е разстоянието от Земята до астероида, когато Земята е в опозиция на астероида ,най-близо е до него и би била най-ярка..

От справочните данни виждаме, че Венера е по-отдалечена от Слънцето, отколкото астероида на Малкия принц и се явява за него също външна планета, както и Земята. Аналогично за осветеността, която Венера създава върху астероида на Малкия принц, можем да напишем:

E'_1 \propto A_1\cdot\frac{1}{r_1^{\ 2}}\cdot\frac{\pi R_1^{\ 2}}{r'^{\ 2}_1}

където с индекс 1 сме означили съответните величини за Венера. Очевидно, тъй като Венера е по-близо както до Слънцето, така и до астероида, има почти същия радиус като Земята и двойно по-високо албедо, тя трябва да е с по-силен видим блясък за Малкия принц, отколкото Земята. Като имаме предвид, че $R \approx R_1$ и $A_1 \approx 2A$ , за отношението на видимия блясък на Венера към този на Земята получаваме:

\frac{E'_1}{E'} = \frac{A_1}{A}\cdot\left(\frac{r r'}{r_1 r'_1}\right)^{2}

\frac{E'_1}{E'} \approx 20

При наблюдение от астероида на Земята и на Венера в опозиция, Венера ще е около 20 пъти по-ярка от Земята.

Оригинал в Архива: NOA2_2007_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2007_11-12solutions.pdf