НОА 2007, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4

• а) $\frac{g}{g_1} = \frac{M}{M_1}\cdot\left(\frac{R_1}{R}\right)^{2} \approx 6,\qquad 240/6 = 40\ \text{кг}$

  Ако участничката може да повдигне товар от 40 кг на Земята, ще може да повдигне коня на Луната; затруднения биха създали скафандрите и това, че трудно ще обхване коня с ръцете си.

• б) $v = \sqrt{\tfrac{5}{6}gR} \approx 7.2\ \text{км/сек},\qquad v_0 = \frac{2\pi R}{T} \approx 0.465\ \text{км/сек},\qquad v_P = v - v_0 \approx 6.7\ \text{км/сек}$

  Пипи трябва да тича по екватора в посоката на въртене на Земята; собствената й скорост е $v_P \approx 6.7$ км/сек, а пълната скорост на коня около земната ос е $v \approx 7.2$ км/сек.

Нека означим с $M$ и $M_1$ съответно масите на Земята и Луната, с $R$ и $R_1$ – техните радиуси, а с $\gamma$ - гравитационната константа. Означаваме също така с $g$ и $g_1$ ускоренията на силата на тежестта съответно на земната и на лунната повърхност. Тогава можем да напишем:

Разделяме почленно двете равенства и получаваме:

Следователно на лунната повърхност теглото на коня ще е 6 пъти по-малко, отколкото на Земята. На Луната конят ще тежи 240 / 6 = 40 кг. Дали бихме могли да повдигнем коня на Луната зависи от нашите сили. Можем да допуснем, че една участничка в олимпиадата е в състояние да поне да повдигне товар от 40 кг, ако се намира на Земята. Тогава тя ще може да повдигне коня на Луната. Затруднения биха й създали нейният скафандър и разбира се, скафандърът на коня. Но тези затруднения могат да се елиминират, ако си представим, че момичето и конят се намират в изолирана лунна база, където има въздух за дишане. По-сериозна пречка би се оказало това, че момичето трудно ще намери начин да обхване с ръцете си коня, за да го повдигне.

За да стане конят, носен от Пипи, по-лек на Земята, Пипи трябва да тича по земния екватор в посоката на въртене на Земята. Така “олекването” на коня ще се дължи на центробежната сила, която ще му действа. Центробежната сила ще се определя от скоростта на движение на коня около оста на Земята. Тази скорост е:

където $v_P$ е скоростта, с която бяга Пипи, а $v_0$ е линейната скорост на движение на точка от екватора при въртенето на Земята около оста й.

където $T = 23^{h}56^{m}$ е периодът на околоосно въртене на Земята.

Центробежната сила, действаща върху коня, ще му придава ускорение:

което е насочено нагоре – противоположно на земното ускорение $g$. За да олекне конят 6 пъти в резултат от това, и да се чувства като на Луната, трябва да е изпълнено следното съотношение:

Или:

Тогава от (3) получаваме:

Като имаме предвид (2), можем да пресметнем скоростта на Пипи Дългото чорапче:

Това е внушителна скорост, сравнима с първа космическа скорост, но нека не забравяме, че Пипи е най-силното момиче на света...