Съдържание

НОА 2007, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 5. Вега по данни на Hipparcos

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2007

Х Национална олимпиада по астрономия, III кръг, ученици от 11-12 клас · 12 май 2007 г.

Условие

Спътникът Hipparcos, изстрелян от Европейската космическа агенция през 1989 г. и функционирал до 1993 г., успя да извърши изключително точни измервания на положенията на огромен брой звезди. Една от тях е звездата Вега ( $\alpha = 279^\circ$ , $\delta = 39^\circ$ ). Hipparcos е наблюдавал Вега в определени моменти от време, по които е възстановено видимото й движение, показано на Фиг. 1. Преместването по двете оси е дадено в хилядни от дъговата секунда (milliarcseconds, съкратено mas).

На Фиг. 2 е дадена част от спектъра на Вега, съдържаща линия на желязото. На графиката е означена лабораторната дължина на вълната, която съответства на тази линия.

Като използвате данните от двете фигури, определете разстоянието до Вега и нейната пълна пространствена скорост.

График в координати RA (mas) по хоризонталната ос от -430 до над 500 и Dec (mas) по вертикалната ос от -500 до 650; плътна точкова крива с три примки (възела), наложена върху права линия на средното собствено движение.

Фиг. 1. Собствено движение на звездата Вега по данни на спътника Hipparcos.

Спектрален профил: по хоризонталната ос дължина на вълната от около 4065 до 4075 ангстрьома, по вертикалната – интензивност от 0.84 до 0.96; дълбока абсорбционна линия близо до 4071.5 ангстрьома, означена с надпис „Fe 1 4071.737“.

Фиг. 2. Част от спектъра на Вега

Справочни данни:

1 морска миля = 1853 m

Радиус на Земята – 6370 km

Маса на Земята – $6\times10^{24}$ kg

Гравитационна константа – $6.67\times10^{-11}$ m $^3$ / kg.s $^2$

Разстояние Земя-Слънце – 1 AU= $150\times10^{6}$ km

Видим ъглов диаметър на Слънцето $0.5^\circ$

Сидеричен (звезден) лунен месец 27.3 денонощия

Синодичен лунен месец 29.5 денонощия

Елипса с отношение на малката към голямата полуос 0.88 изглежда по този начин:

Почти кръгла елипса с начертани вертикална и хоризонтална ос през центъра ѝ. — Елипса с отношение на малката към голямата полуос 0.88.

Отговори

Решение

Решение: Възлите в собственото движение на Вега, изобразено на Фиг. 1, се дължат на паралактичното отместване на звездата при движението на Земята около Слънцето. Наистина, от кривата, описвана от звездата, можем да заключим, че тя отразява период от около три и половина години, което се вмества в периода на функционирането на спътника Hipparcos. Това ни позволява да намерим паралакса на Вега. Ако тя беше неподвижна спрямо Слънцето, видимото й от Земята движение щеше да става по затворена крива – елипса с голяма полуос, равна на паралакса на звездата. Начертаваме две прави, допирателни към извивките на линията на собственото й движение от лявата и от дясната страна (Фиг. 3). Измерваме разстоянието $d$ между двете успоредни линии. Това е всъщност дължината на една хорда от паралактичната елипса, която описва Вега. Координатите на Вега показват, че тя е доста близо до полюса на еклиптиката, чиито координати са $\alpha = 270^\circ$ , $\delta = 66.5^\circ$ . Ето защо, също и поради малкия ексцентрицитет на земната орбита около Слънцето, видимото паралактично движение на Вега би трябвало да става по крива, която се отличава малко от окръжност. Можем да приемем, че паралаксът на Вега е $p = d/2$ .

Можем да получим и по-точно решение за паралакса. Забелязваме, че ректасцензията на Вега се различава само с $9^\circ$ от ректасцензията северния еклиптиченя полюс. Можем да приемем, че звездата лежи почти на същия небесен меридиан, както и еклиптичния полюс. Следователно ъгловото отстояние на Вега от северния еклиптичен полюс е приблизително равно на разликата между деклинацията на този полюс и деклинацията на звездата, т.е. $66.5^\circ - 39^\circ = 27.5^\circ$ . Това е ъгълът, който сключва перпендикулярът към равнината на земната орбита с направлението към Вега. При движението на нашата планета около Слънцето Вега извършва видимо движение по елипса, чиито голяма и малка полуоси са в съотношение:

\frac{b}{a} = \cos 27.5^\circ \approx 0.88

(Тук приемаме, че орбитата на Земята е кръгова). Голямата ос на тази елипса трябва да е приблизително успоредна на оста на ректасцензията на графиката. Както вече споменахме, отсечката $d$ между двете успоредни линии, ограничаващи собственото движение на Вега, е хорда от нейната паралактична елипса. В справочните данни виждаме една елипса със съотношение между малката и голямата оси, равно именно на 0.88. Начертаваме върху нея хорда, минаваща през центъра и ориентирана по същия начин към голямата ос на елипсата, както отсечката $d$ към хоризонталната ос на графиката. Измерваме тази хорда и дължината на голямата ос на елипсата. Намираме, че голямата ос на елипсата е приблизително 1.05 пъти по-дълга то хордата. Със същия коефициент би трябвало да коригираме получената стойност на паралакса на звездата Вега.

Собственото движение $\mu$ на Вега, или ъгловото й отместване за една година, определяме като измерим разстоянието между две съседни точки от видимия път на звездата, които имат еднаква “фаза”, по отношение на паралактичното й движение – например между два възела (пресечни точки) във видимата й траектория.

Определяме мащаба на осите. Той се оказва приблизително еднакъв за двете оси, като на 500 mas съответстват 44 мм. Както показват измерванията:

d \approx 22\ \text{mm} = 250\ \text{mas}

Следователно паралаксът на Вега е $p = 0.250’’ / 2 = 0.125’$ . Тогава разстоянието до Вега ще бъде:

r = \frac{1}{p} \approx 8\ \text{pc}

Собственото движение на звездата е:

\mu = 31.5\ \text{mm} \approx 358\ \text{mas / год.}

Бихме могли да определим тангенциалната скорост на звездата, като намерим линейното разстояние, което тя изминава за година в парсеци и после превърнем мерните единици в километри за секунда. Но по-лесно е, ако съобразим, че в астрономически единици за една година Вега изминава разстояние, равно на $\mu/p$ . Като знаем, че 1 AU $= 150 \times 10^6$ км, получаваме:

v_\tau = \frac{\mu}{p}\ \text{AU / год.} = \frac{2.864 \times 150 \times 10^6\,km}{365.25d \times 24h \times 60m \times 60s}

v_\tau \approx 13.6\ \text{km/sec}

Същият график на собственото движение на Вега с две успоредни прави, допирателни към извивките на кривата отляво и отдясно; разстоянието между тях е означено с d, а отсечка между два последователни възела – с μ.

Фиг. 3. Определяне на паралакса и собственото движение на Вега.

За да определим положението на линията на желязото в спектъра на Вега, работим по метода на хордите. Начертаваме няколко хорди, успоредни на абсцисата, които пресичат графиката на спектралната линия (Фиг. 4). Определяме техните среди. Построяваме права линия през тези средни точки. Отбелязваме точката, в която тази права линия пресича графиката на спектъра на звездата. Спускаме перпендикуляр до абсцисата в точка X. Определяме на каква дължина на вълната съответства тази точка. Например можем да измерим разстоянията от делението, отговарящо на 4066 ангстрьома, до точка X и до делението, отговарящо на 4072 ангстрьома. Получаваме съответно 80 и 74 мм. Тогава дължината на вълната на линията на желязото в спектъра на звездата ще бъде:

\lambda = 4066\ \text{ангстрьома} + \frac{74}{80} \times 6\ \text{ангстрьома} = 4071.55\ \text{ангстрьома}

Като имаме предвид, че лабораторната дължина на вълната за тази спектрална линия, обозначена на графиката, е $\lambda_0 = 4071.737$ ангстрьома, то за радиалната скорост получаваме:

v_r = c\,\frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} \approx -13.8\,km/\sec

Знакът минус означава, че звездата се приближава към нас.

Накрая за пълната пространствена скорост на звездата получаваме:

v = \sqrt{v_\tau^{\,2} + v_r^{\,2}} \approx 19.4\,km/\sec

Спектралният профил на линията Fe 1 4071.737 с начертани няколко хорди, успоредни на абсцисата, права през средите им и перпендикуляр до абсцисата в точка X при дължина на вълната λ.

Фиг. 4. Определяне на наблюдаваната дължина на вълната на линията на желязото в спектъра на Вега.

Елипса с оси, разделени от кръстоска – илюстрация как изглежда елипсата с отношение на малкия към големия полуюс 0.88 (изглежда почти като кръг).

График на собственото движение на Вега в координати RA и Dec в mas (мас: Dec от −500 до 650, RA от −430 до над 500) – спираловидна крива с три последователни възела, пресичана от права линия. — Фиг. 1. Собствено движение на звездата Вега по данни на спътника Hipparcos.

Спектрален профил на Вега: интензивност (от 0.84 до 0.96) в зависимост от дължината на вълната (Å, от ~4065 до ~4075) с абсорбционни линии, най-дълбоката означена Fe 1 4071.737. — Фиг. 2. Част от спектъра на Вега

Оригинал в Архива: NOA3_2007_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2007_11-12solutions.pdf