Съдържание

НОА 2007, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2007

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА — ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ — Х НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ — http://astro-olymp.org · 12 май 2007 г.

Условие

Участник в астрономическата олимпиада, след като решил задачата за Пипи Дългото чорапче, се замислил дали тя, както си стои на Земята, ще може да вдигне не просто кон, а цялата Луна; или дали ще може, стоейки на Луната, да вдигне Земята. Стигнал до следните разсъждения: „На Луната телата са 6 пъти по-леки, отколкото на Земята. Масата на Земята е $6{\times}10^{24}$ кг. Следователно ако „прилуним“ Земята върху нашия спътник и я претеглим там, тя ще тежи $1{\times}10^{24}$ кг.
Масата на Луната е $0.07{\times}10^{24}$ кг. Ако претеглим Луната върху Земята, Луната ще тежи $0.07{\times}10^{24}$ кг.
Но теглото се измерва чрез силата, с която едно тяло се привлича от друго тяло. Според закона на Нютон, всеки две тела се привличат с равни по големина и противоположно насочени сили. Оттук следва, че измереното на Луната земно тегло трябва да е равно на измереното на Земята лунно тегло.“
Откъде идва противоречието?
Считайте, че при приближаването си към Земята Луната не се разрушава.

Отговори

Решение

Съгласно закона на Нютон, две тела с маси $m_1$ и $m_2$ се привличат с равни по големина и противоположно насочени сили. Големината на всяка от тези сили е:

F = \gamma\,\frac{m_1 m_2}{r^2}

където $r$ е разстоянието между двете тела. В такъв вид формулата обаче е валидна за две материални точки. Може да се докаже, че със същата формула се изразява и силата на привличане между две тела с кълбовидна форма, стига веществото в тях да е разпределено в концентрични сферични слоеве с равномерна плътност. За такива кълба ще считаме Земята и Луната. Но силата на привличане между две кълба зависи от разстоянието между техните центрове. Силата на привличане между Луната и Земята при положение, че те се допират една до друга, ще бъде:

F = \gamma\,\frac{M_1 M_2}{(R_1 + R_2)^2}

където $M_1$ и $M_2$ са масите на Земята и Луната, а $R_1$ и $R_2$ са техните радиуси.

F = 4.3{\times}10^{23}\ \mathrm{N}

Когато претегляме дадено тяло на Земята, ние измерваме силата на натиска, който то оказва върху земната повърхност. Но показанията на уреда, с който си служим, не са в нютони, а в килограми. Те се получават като разделим стойността на силата на натиск в нютони на земното ускорение $g$ . Нека считаме, че $g = 10$ м/с $^2$ . Това означава, че ако претеглим Луната, поставена върху Земята, с помощта на нашия кантар, то той ще покаже тегло $F/g = 0.43{\times}10^{23} \approx 0.04{\times}10^{24}$ кг. Същото ще покаже този уред и ако претеглим Земята, поставена върху Луната.
Противоречието в разсъжденията на участника в олимпиада идва от неотчитането на обстоятелството, че при приближаване на Земята и Луната една до друга, техните центрове са отдалечени на разстояние, равно на сумата от радиусите им. А изходните разсъждения, от които той тръгва, се отнасят за претегляне на много малки тела върху повърхността на Земята и Луната, с размери, които са пренебрежими в сравнение както със земния, така и с лунния радиус.

Оригинал в Архива: NOA3_2007_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2007_9-10solutions.pdf