НОА 2007, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Звездата ЕС-77

• $\mathrm{M} = \mathrm{a}^3/\mathrm{T}^2 - 1 \approx 0.8\,\mathrm{M}_{\mathrm{S}}$

  r = 1/p ≈ 15,9 pc; a = α_max/p ≈ 9,2 AU; T = 21 години. Слънцеподобната компонента е тази с $5,8^m$; другата е с $1,7^m$ и светимост $L_1 \approx 43 L_S$. Тъй като видимата орбита може да е проекция на истинската, истинската голяма полуос може да е по-голяма и оттам масата да превишава $M_S$ – звезда от главната последователност, по-масивна, по-гореща и по-мощна от Слънцето, или вече преминала в областта на гигантите (по-хладна, но с много по-големи размери).

Решение: Означаваме с $p$ паралакса на двойната звезда. Разстоянието до нея е: $r = 1/p'' \approx 15.9$ pc. Знаейки разстоянието и видимите звездни величини на компонентите в двойната система, можем да преценим коя от тях е подобна на Слънцето. Известно е, че абсолютната звездна величина на Слънцето е $\mathrm{m}_{\mathrm{S}} = 4.8^{\mathrm{m}}$. Такъв блясък то би имало, ако го гледаме от разстояние 10 pc. В нашия случай обаче $r > 10\,\mathrm{pc}$ и звезда, подобна на Слънцето, би трябвало да има видим блясък по-слаб от $4.8^{\mathrm{m}}$. Следователно слънцеподобната звезда трябва да е компонентата с блясък $\mathrm{m}_2 = 5.8^{\mathrm{m}}$. Абсолютната звездна величина на звездата е: $\mathrm{M}_2 = m + 5 - 5\lg r \approx 4.8^{\mathrm{m}}$, т.е. същата като тази на Слънцето. Можем да предположим, че масата и светимостта й също са равни на слънчевите. Означаваме ги съответно с $\mathrm{M}_{\mathrm{S}}$ и $\mathrm{L}_{\mathrm{S}}$.

За да оценим масите на двете компоненти, най-просто е да предположим, че те се движат по кръгови орбити около центъра на масите. Ако разглеждаме първата звезда като неподвижна, то относителната орбита на втората звезда около първата също ще бъде кръгова. Нека линейния радиус на тази относителна орбита означим с $a$. Можем да го намерим от максималното видимо ъглово отдалечаване на звездите $\alpha_{\max}$: $\mathrm{a} = r.\,\alpha_{\max}[\mathrm{rad}] = 9{,}2$ AU. (Друг начин: Радиусът $a$ е толкова пъти по-голям от радиуса на земната орбита 1 AU, колкото ъгловото отдалечаване на звездите $\alpha_{\max}$ е по-голямо от паралакса на системата $p$, изразени в дъгови секунди: $\mathrm{a}\,[\mathrm{AU}] = \alpha_{\max}'' / p'' = 9{,}2$ AU.)

Означаваме с $M$ масата на онази звезда, която не е като Слънцето. Ако $T = 21$ години е орбиталният период на звездите, то:

Ако $a$ е в AU, $T$ е в години, а $M$ е в единици $\mathrm{M}_{\mathrm{S}}$, то: $\mathrm{a}^3/\mathrm{T}^2 = \mathrm{M} + 1$. Оттук определяме $\mathrm{M} = \mathrm{a}^3/\mathrm{T}^2 - 1 \approx 0.8\,\mathrm{M}_{\mathrm{S}}$.

Разстоянието до двете звезди е еднакво, т.е. отношението на осветеностите, които те създават, е равно на отнощението на светимостите им. Означаваме светимостите с $\mathrm{L}_1$ и $\mathrm{L}_2$, където $\mathrm{L}_2 = \mathrm{L}_{\mathrm{S}}$. Ако $\mathrm{m}_1 = 1.7^{\mathrm{m}}$, то:

Звездата има значително по-висока светимост от Слънцето.

Да разгледаме възможните варианти за характеристиките на компонентата, която не е подобна на Слънцето. Единият е тя да лежи на главната последователност върху диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел. На пръв поглед това е невъзможно, защото след като масата й е $0.8\,M_{\mathrm{S}}$, то светимостта й трябва да е близка до $\mathrm{L}_{\mathrm{S}}$. Но може видимата относителна орбита на едната звезда около другата да е някаква проекция на истинската орбита. Истинската орбита на едната звезда около другата може да е елипса с голяма полуос, по-голяма от полученото от нас линейно разстояние $a$. Тогава масата на въпросната компонента може да превищава $M_{\mathrm{S}}$. Тя би могла да бъде звезда от главната последователност, по-масивна, по-гореща и по-мощно излъчваща от Слънцето.

При по-голяма маса, възможно е също разглежданата компонента да не лежи на главната последователност, а вече да е преминала в областта на гигантите. В такъв случай тя би трябвало да е по-хладна от подобната на Слънцето звезда. По-голямата й светимост би се дължала на значително по-големите й размери. Понеже двете звезди принадлежат на една двойна система, те трябва да са се формирали заедно и да са приблизително на една и съща възраст. Еволюцията на въпросната компонента обаче трябва да е протекла доста по-бързо. Това предполага, че масата й трябва да превишава $M_{\mathrm{S}}$ в достатъчно голяма степен. Следователно и тук е възможна ситуацията от предния вариант, а именно истинската дължина на голямата полуос на орбитата да е по-голяма от наблюдаваната проекция и оттам да се получи по-голяма стойност за масата на неизвестната звезда.