Съдържание

НОА 2007, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Затъмнения на Калисто и скоростта на светлината

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2007

X Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, младша възраст · 12 юли 2007 г.

Условие

Младият астроном Даниел Цветков стои в къщи с навехнат крак и наблюдава с телескоп през прозореца Юпитер в противостоене. В $0^{\mathrm{h}}$ UT Даниел наблюдава затъмнение на спътника Калисто от сянката на Юпитер. После той се заема да пресмята кога ще се случат следващите затъмнения.

Пресметнете периода между две затъмнения на Калисто, като знаете, че орбиталният период на спътника около планетата е 16,689 денонощия.

По-късно, когато Юпитер вече е в източна квадратура, Даниел отново наблюдава затъмнения на Калисто, но установява, че те настъпват с 455 s закъснение спрямо изчислените по предишните данни. Той не знае, че с подобни наблюдения в 19 век датският астроном Оле Рьомер е определил скоростта на светлината.

Определете тази скорост и вие.

Справочни данни:

Орбитален период на Юпитер – 11,857 години

Радиус на орбитата на Юпитер – $778,3\times10^6$ km

Радиус на земната орбита – $149,6\times10^6$ km

Отговори

Решение

Ориентацията на сянката на Юпитер зависи от положението на планетата по нейната орбита. Ето защо, ако $Т_{\mathrm{K}}$ е орбиталният период на Калисто около Юпитер, а $Т_{\mathrm{Ю}}$ е орбиталният период на Юпитер около Слънцето, то периодът между две последователни затъмнения на Калисто $Т_{\mathrm{Е}}$ намираме от съотношението:

\frac{1}{\mathrm{T_E}} = \frac{1}{\mathrm{T_K}} - \frac{1}{\mathrm{T_Ю}}

Т_{\mathrm{Е}} = \frac{Т_{\mathrm{Ю}}.Т_{\mathrm{К}}}{Т_{\mathrm{Ю}} - Т_{\mathrm{К}}} \approx 16{,}754^{\mathrm{d}}

Когато Юпитер е в противостоене, разстоянието му до Земята е

Две концентрични окръжности около Слънцето; Юпитер на външната, Земя 1 и Земя 2 на вътрешната; отсечки $r_1$, $r_2$ и $x$.

\mathrm{r} = \mathrm{r_1} - \mathrm{r_2} \approx 628{,}7\times10^6\,\mathrm{km}.

където $\mathrm{r_1}$ е радиусът на орбитата на Юпитер, а $\mathrm{r_2}$ е радиусът на земната орбита. Нека $x$ е разстоянието от Земята до Юпитер в квадратура. От чертежа се вижда, че съгласно теоремата на Питагор:

\mathrm{x}^2 = \mathrm{r_1}^2 - \mathrm{r_2}^2\,.

\mathrm{x} = \sqrt{\mathrm{r_1}^2 - \mathrm{r_2}^2} \approx 763{,}8.10^6\,\mathrm{km}

Когато Юпитер е в квадратура, светлината оттам до Земята изминава по-дълъг път, отколкото когато е в опозиция. Удължаването на пътя е:

\mathrm{x} - \mathrm{r} = 135{,}1\times10^6\,\mathrm{km}.

Именно на това се дължи закъснението с време t = 455 s на моментите на затъмненията на Калисто. Оттук определяме скоростта на светлината:

\mathrm{c} = \frac{\mathrm{x} - \mathrm{r}}{\mathrm{t}} \approx 297000\,\mathrm{km/s}

Справочни данни:

Орбитален период на Юпитер – 11,857 години

Радиус на орбитата на Юпитер – $778,3\times10^6$ km

Радиус на земната орбита – $149,6\times10^6$ km

Оригинал в Архива: NOA4_2007_MLproblems.pdf · официални решения: NOA4_2007_MLsolutions.pdf