НОА 2007, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Лекция към орбиталната станция „Морулей”

• А) $\mathrm{d}_{\min} = \theta\,[\mathrm{rad}].\mathrm{H} \approx 580\ \mathrm{m}$

  H = 2000 km, θ = 1′ = 2,91×10⁻⁴ rad.

• Б) Не. Сидеричният период на станцията е $T \approx 2^{\mathrm{h}}07^{\min}$, синодичният спрямо радиотелескопа – $T_{\mathrm{syn}} \approx 2^{\mathrm{h}}20^{\min}$, а станцията е над хоризонта само $\Delta t \approx 31$ min < 40 min.

  cos α = R/(R+H) → α ≈ 40,5°; Δt = (2α/360°)·T_syn ≈ 31 min.

А) За да могат олимпийците дори само за миг да видят радиотелескопа, то той трябва да има такъв линеен диаметър, че когато разстоянието между станцията и него е най-малко, видимият му ъглов размер да е по-голям от минималния ъгъл, характеризиращ разделителната способност на окото $\theta = 1'$. Това най-малко разстояние е равно на височината на „Морулей” над земната повърхност H. Търсеният минимален размер на телескопа е:

Б) Радиусът на орбитата на „Морулей” е: $\mathrm{a} = \mathrm{R} + \mathrm{H}$. Ако $T$ е орбиталният й период, то съгласно III закон на Кеплер:

където $\mathrm{M}_{\text{з}}$ е масата на Земята, а $\gamma$ – гравитационната константа.

Оттук можем да намерим:

Това е сидеричният период на станцията. Ако $\mathrm{T}_{\mathrm{syn}}$ е периодът й относно радиотелескопа на екватора, то в сила е съотношението

където $T_{\text{зв}}$ е звездното денонощие.

Знакът между $\frac{1}{T}$ и $\frac{1}{T_{\text{зв}}}$ е минус, защото е казано, че „Морулей” изгрява от запад и залязва на изток, т. е. обикаля около Земята по посока на денонощното й въртене. Пресмятаме $T_{\mathrm{syn}}$ по формулата:

Орбиталната станция „Морулей” ще е над хоризонта за Росита само в участъка BC на траекторията си. За да го премине, тя се завърта на ъгъл $2\alpha$. От чертежа се вижда, че $\cos\alpha = \dfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}+\mathrm{H}} \Rightarrow \alpha \approx 40{,}5^\circ$. Следователно „Морулей” ще е над хоризонта в интервал от време $\Delta\mathrm{t} = \dfrac{2.\alpha}{360^\circ}.\mathrm{T}_{\mathrm{syn}} \approx 31\,\mathrm{min}$. От този резултат следва, че Росита няма да има време за да завърши своята лекция.