Съдържание

НОА 2008, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2008

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XI НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · III кръг · 10 май 2008 г. · 10 май 2008 г.

Условие

Когато станало ясно, че дори най-близките звезди имат паралакс под 1’’ (една дъгова секунда), окончателно било потвърдено, че звездите са самосветещи тела. Докажете и вие, че звездите не могат да са обекти, които светят с отразена слънчева светлина.

Отговори

Решение

Звездната величина на най-слабите звезди, видими с невъоръжено око, е $6^{\mathrm{m}}$ . Да си представим една такава звезда, отдалечена на 1 парсек, т.е. звезда, чиито паралакс е 1’’. Да си представим също, че тя не излъчва собствена светлина, а представлява кълбо, отразяващо светлината на Слънцето с отражателна способност 100%. Да оценим радиуса R на такова кълбо, като предполагаме, че видимата от Земята звездна величина на звездата е $m = 6^{\mathrm{m}}$ .
Осветеността, която Слънцето създава върху кълбото ще бъде:

E = L / 4\pi r^2

където L е светимостта на Слънцето, а r е разстоянието до звездата. Осветеността, която звездата създава за земния наблюдател, ще бъде:

E_1 = E.\pi R^2 / 2\pi r^2 = L R^2 / 8\pi r^4

Да я сравним с осветеността $E_0$ , която Слънцето създава върху Земята:

E_0 = L / 4\pi r_o^2

където $r_o$ е разстоянието от Земята до Слънцето. Използваме формулата на Погсън:

E_0 / E_1 = 2.512^{m-M}

2r^4 / r_o^2 R^2 = 2.512^{m-M}

R = 2r^2 / 2.512^{(m-M)/2}.\ r_o

R \approx 25\ 000\ \mathrm{a.e.}

За да се вижда като звезда от $6^{\mathrm{m}}$ , отразяващото слънчева светлина кълбо трябва да има гигантски размери, 25 000 пъти по-големи от земната орбита. На разстояние 1 парсек, който е равен на 206265 а.е., това кълбо би имало видим ъглов радиус:

206265 / 25\ 000\ \mathrm{дъгови\ секунди} \approx 7^\circ!

Но звездите са точкови обекти. Следователно е абсолютно невъзможно те да светят с отразена от Слънцето светлина.

Справочни данни

Справочни данни:
Гравитационна константа	$\gamma = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3 / kg.s^2}$
Звездно денонощие	23 h 56 min 04 sec
Маса на Земята	$6 \times 10^{24}$ kg
Радиус на Земята	6378 км
Радиус на земната орбита	$150 \times 10^{6}$ км
Радиус на Слънцето	700 000 км
Светимост на Слънцето	$3.8 \times 10^{26}$ W
Видима звездна величина на Слънцето	$-26.7^{\mathrm{m}}$
Средно разстояние от Марс до Слънцето	1.52 а.е.
Разстояние от Марс до Слънцето в перихелий	1.38 а.е.

Оригинал в Архива: NOA3_2008_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2008_11-12solutions.pdf