НОА 2008, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3

• Две възможни орбити: T_S ≈ 365 дни при r ≈ 2×10⁶ km, L ≈ 6.8×10²² W; или обратно движение, T_S ≈ 12 h 05 min при r ≈ 26800 km, L ≈ 7×10¹⁸ W. Сезоните са възможни при наклонена или леко елиптична орбита.

Земята се върти около оста си с период T = 23 h 56 min 04 sec, наречен звездно денонощие. Ние искаме продължителността на слънчевото денонощие при новото слънце да е същата, както сега, т.е. $T_1 = 24$ часа. Да отбележим периода на обикаляне на изкуственото Слънце около Земята с $T_S$. Новото слънце трябва да обикаля около Земята в същата посока, в която тя се върти около себе си. Тогава е в сила съотношението:

Дори без да правим числените пресмятания, от формулата можем да разберем, че слънцето трябва да обикаля около Земята с период една сегашна година, или $T_S \approx 365$ дни. Означаваме разстоянието от земята до слънцето с $r$. Като използваме III закон на Кеплер, получаваме:

където M е масата на Земята, а $\gamma$ е гравитационната константа.

Ако предположим, че изкуственото слънце излъчва във всички посоки, подобно на звезда, то ние можем да сравним неговата светимост L с тази на сегашното истинско Слънце $L_0 = 3.8 \times 10^{26}$ W. За да може Земята да получава същата слънчева енергия в единица време от изкуственото слънце, както от истинското, то трябва да е изпълнено съотношението:

където $r_0$ е радиусът на земната орбита около истинското Слънце сега.

Получава се доста голямо разстояние, при което разходът на енергия от изкуственото слънце ще бъде огромен. То ще трябва да излъчва само около 5600 пъти по-слабо от истинското Слънце сега.
Възможно е обаче и друго решение. Слънцето може да се движи около Земята в посока на нейното въртене и то така, че да изгрява от запад и да залязва на изток. В такъв случай можем да напишем:

Разстоянието, на което трябва да бъде при това положение слънцето, е:

За да намерим необходимата светимост на изкуственото слънце, трябва да отчетем и факта, че радиусът на неговата орбита около центъра на Земята вече е сравним със земния радиус. Следователно в нашите изчисления трябва да използваме не този радиус, а разстоянието от слънцето до повърхността на Земята:

където R е радиусът на Земята.

Изкуственото слънце ще трябва да излъчва с мощност около 54 милиона пъти по-малка от тази на настоящото истинско Слънце. Но това пак си е колосална мощност. За да намалим още повече разходите на енергия, трябва да направим изкуственото слънце източник на насочена светлина. Най-просто решение е да сложим едно вдлъбнато параболично огледало от обратната страна на слънцето, например. Друг проблем е свързан с това, че Слънцето ще дава необходимата енергия на земната повърхност при така изчисления радиус само когато е достатъчно високо над хоризонта. Когато е ниско над хоризонта, то ще е съществено по-далеч от съответния пункт на земната повърхност. Това означава, че сутрин и вечер ще става доста студено. Така че най-добре ще бъде слънцето да обикаля по орбита с малко по-малък радиус. За по-добро регулиране на земния климат е добре орбитата на слънцето да е наклонена спрямо равнината на земния екватор. Така ще се осигури смяна на сезоните. Това ще бъде възможно, тъй като всеки ден за дадено място Слънцто ще кулминира на различна височина над хоризонта. Друг начин е орбитата на изкуственото Слънце да се направи леко елиптична, така че в моментите на горна кулминация разстоянието до него да се променя. Тогава, обаче, сезоните ще се променят еднакво за двете полукълба на Земята, а няма да са противоположни за северното и южното полукълбо.