НОА 2008, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4

• Планетата Уран

  Първоначална оценка r ≈ 28.7 a.e. (максимална граница, съответстваща на Нептун); видимата ъглова скорост в опозиция ω' ≈ 0.048°/ден сочи Уран (0.043°/ден), а не Нептун (0.028°/ден).

Очевидно това е обект, който принадлежи към Слънчевата система и е по-далечен от Марс. Сравнението между снимката и схемата в алманаха показва, че на снимката се виждат положенията на Марс в периода приблизително от 1 юни до края на октомври 2003 година, което съответства на около пет месеца. Възелът във видимата траектория на Марс показва, че около средата на този период планетата е била в опозиция. Тъй като неизвестният обект се вижда почти в същото направление, където е и възелът в траекторията на Марс, то и той също е бил в опозиция. Сгъстяването на точките към двата края на следата на обекта показва, че е обхванат приблизително периодът, когато обектът е имал ретроградно движение на фона на звездите. Можем да считаме, че ъгловата дължината на следата α съответства на ъгловия размер на „примката“, която обектът описва при видимото си движение на фона на звездите.
Да направим приблизителна оценка на разстоянието $r$ от нас до обекта. Нека отначало считаме, че поради голямата отдалеченост на обекта можем да пренебрегнем неговото преместване по орбитата му в рамките на петте месеца, в които са заснети положенията му. Тогава ъгловият размер на „примката“, която той описва по небето, съответсва на видимия от обекта ъглов диаметър $2r_0$ на земната орбита около Слънцето:

Така получаваме:

Чрез измерване по скалата за ректасцензия на схемата получаваме мащаба на изображението в градуси:

Забелязваме, че за разлика от скалата по ректасцензия, скалата по деклинация не е равномерна. Затова се стремим да използваме предимно скалата по ректасцензия. За да пренесем мащаба към снимката, избираме от схемата две звезди, които са разположени на линия, възможно по-близка до хоризонталната. Измерваме разстоянието между тях в милиметри (12.5 мм). Намираме същите звезди на снимката и измерваме разстоянието между тях (75 мм). Чрез сравняване на разстоянията между звездите върху схемата и върху снимката, определяме, че мащабът на снимката е 75/12.5 = 6 пъти по-голям, или 8.16 мм на 1°. После измерваме в милиметри дължината на следата, оставена от неизвестния обект, която е 33 мм, и получаваме за ъгловата ѝ дължина

За разстоянието до обекта от формула (1) получаваме:

От таблицата с данните за планетите от Слънчевата система виждаме, че това съответства приблизително на разстоянието до планетата Нептун. Наистина, от снимката виждаме, че този определено далечен обект е твърде ярк, за да бъде някой астероид. Следователно, първият извод, който можем да направим, е че това е планетата Нептун.
Но дали можем да сме сигурни в това? Нека си припомним, че ние не отчетохме преместването на обекта по неговата орбита в рамките на петмесечния период, през който е фотографирана следата му. Ако отчетем това отместване при всички случаи бихме получили по-малко разстояние до обекта. При това неточността на нашата оценка може да е значителна. Получената от нас приблизителна оценка на разстоянието представлява само максимална граница, до която то може да достига.
Да пресметнем каква е видимата ъглова скорост на обекта на фона на звездите във времето около самата опозиция. Теоретично тази скорост е:

където $v_T$ и $v_P$ са линейните орбитални скорости съответно на земята и планетата, а $r_P$ и $r_T$ са разстоянията им до Слънцето. Около момента на опозиция видимата ъглова скорост на преместване на планетата е най-голяма. Затова върху снимката измерваме разстоянието между две точки в центъра на примката, които ограждат три интервала и две други точки. То е 6.5 мм и съответства на $6.5 / 8.16 = 0.8^\circ$. Приемаме, че положенията на обекта, както и на Марс са заснети през приблизително равни интервали от време. Виждаме, че са заснети 29 положения за пет месеца. Това означава, че положенията са фотографирани през около 153/28 = 5.5 дни. Следователно видимата ъглова скорост на обекта на фона на звездите в опозиция е $\omega' \approx 0.048^\circ$ на ден. От таблицата с данните за планетите пресмятаме и получаваме, че видимите ъглови скорости на Уран и на Нептун са съответно 0.043° на ден и 0.028° на ден. Въпреки грешките при измерванията получените стойности ни дават основание да предположим, че заснетият обект е не планетата Нептун, а по-близката до нас планета Уран. Така се оказва и в действителност.