НОА 2008, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2
XI Национална олимпиада по астрономия 2008, III кръг, ученици от 7-8 клас · 10 май 2008 г.
Условие
Два астероида се движат по кръгови орбити около Слънцето. Орбитите им лежат в плоскостта на еклиптиката. Към всеки от астероидите се монтира слънчево платно. Под действие на светлинното налягане на слънчевите лъчи, което се упражнява върху платната, и двата астероида започват бавно да се отдалечават от Слънцето по спираловидни траектории. При това синодичният период на единия астероид започва да нараства, а на другия – да намалява. Може ли при някой от тези астероиди в бъдеще да възникне опасност от сблъскване със Земята?
Отговори
Да — астероидът, чийто синодичен период нараства (вътрешният за земната орбита), може да пресече земната орбита и да стане опасност за Земята; вторият (външният) не може.
От следва, че при нарастване на синодичният период расте само за вътрешна орбита.
Решение
Нека разгледаме случая на астероид, чиято орбита първоначално е вътрешна за земната орбита. Ако неговият сидеричен период на обикаляне около Слънцето е , а орбиталният период на Земята е , то за синодичния период на астероида можем да напишем:
С отдалечаване на астероида от Слънцето, съгласно III закон на Кеплер, неговият сидеричен период ще нараства и ще става все по-близък до орбиталния период на Земята. Числителят в горната формула ще се увеличава, а знаменателят ще намалява. Следователно синодичният период на астероида ще расте.
За астероид с орбита, която е външна за земната орбита, получаваме:
При отдалечаване на астероида от Слънцето сидеричният му период също ще расте. Колкото по-голям става той, толкова повече синодичният период на астероида ще се доближава по стойност до .
Следователно астероидът, чиито синодичен период нараства, е вътрешен, а другият – външен за Земята. С отдалечаването си от Слънцето вътрешният астероид ще пресече земната орбита и може да стане опасност за нашата планета. Вторият астероид очевидно не може да представлява опасност за Земята.
Оригинал в Архива: NOA3_2008_7-8problems.pdf · официални решения: NOA3_2008_7-8solutions.pdf