НОА 2008, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Вълни на Мортън в атмосферата на Слънцето

• $v_{23} = 665\ \text{km/s},\quad v_{12} = 2860\ \text{km/s},\quad v_{II} \approx 620\ \text{km/s}$

  От измерванията върху изображенията: $R = 93.5$ mm, $a_0 = 83$ mm, $a_1 = 52$ mm, $a_2 = 38$ mm; $l = 120000$ km за $\varDelta t_{23} = 3$ min и $l_0 = 352000$ km за $\varDelta t_{12} \approx 2$ min.

Решение:

Очаква се вълната да има сферична симетрия, но понеже явлението се наблюдава в края на диска, виждаме фронта на вълната като елипса. Очертаваме фронта на двете изображения. Построяваме една хорда на слънчевия диск и нейната симетрала. Очевидно симетралата ще бъде диаметър на диска. Определяме центъра на слънчевия диск като средата на тази симетрала. За хордата и нейната симетрала прилагаме правилото на пресичащите се хорди:

където a и b са дължините на отсечките, на които е разделена едната хорда при пресичането си с другата хорда, а c и d са отсечките, на които се делидругата. Оттук определяме диаметъра на слънчевия диск. Същото можем да направим и използвайки две хорди и пресечната точка на техните симетрали.

Свързваме центъра на избухването с центъра на слънчевия диск с права линия и пренасяме успоредно тази права на второто и третото изображение. Измерваме разстоянието от центъра на слънчевия диск до слънчевото петно и до точките на пресичане с фронта на вълната върху второто и третото изображение.

Да построим разрез на Слънцето през слънчевото петно и центъра на слънчевия диск. Нека S е положението на слънчевото петно върху повърхността на Слъцето, а $F_1$ и $F_2$ са положенията на фронта на вълната в двата момента от време върху слънчевата повърхност. Нека $OA = a_o$ е разстоянието от центъра на диска на Слънцето до слънчевото петно, $OB = a_1$ и $OC = a_2$ са разстоянията от центъра на диска на Слънцето до фронта на вълната в двата момента, измерени по правата, свързваща центъра на слънчевия диск и слънчевото петно, в което се е случило слъчевото избухване.

За да намерим средната скорост $v_{23}$, с която вълната се разпространява между второто и третото изображение, трябва да измерим разстоянието, което тя изминава по слънчевата повърхност. На нашия чертеж това е дъгата l, имаща централен ъгъл $\varDelta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$. От чертежа се вижда, че $\cos\varphi_1 = a_1/R$ и $\cos\varphi_2 = a_2/R$, където R е радиусът на Слънцето, измерен върху изображението с намерения център на слънчевия диск. От тези съотношения намираме ъглите $\varphi_1$, $\varphi_2$ и $\varDelta\varphi$.

Дължината на дъгата l по повърхността на Слънцето в километри е

Тогава

където $\varDelta t_{23}$ е интервалът от време между моментите на второто и третото изображение.

По подобен начин намираме дължината на дъгата $l_0$ и средната скорост $v_{12}$ на разпространение на вълната от момента на слънчевото избухване до момента, запечатан на изображение 2. От измерванията получаваме:

За l получаваме:

и скорост

За $l_0$ получаваме:

и скорост

Виждаме, че вълната много бързо забавя своето движение и най-вероятно ще изчезне преди да успее да обиколи Слънцето.

Използвайки дадената маса на Слънцето $M$, пресмятаме втора космическа скорост за него. Получаваме $v_{II} = \sqrt{2\gamma M/R} \approx 620\ \text{km/s}$ ($\gamma$ е гравитационната константа). Виждаме, че в първите минути вълната се разпространява със скорост по-голяма от скоростта на избягване от Слънцето. Въпреки това тук няма противоречие защото в действителност получените скорости са скорости на разпространение на вълнов процес, при което не се пренася вещество, а само енергия.