Съдържание

НОА 2009, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Снаряд към Луната

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

XII Национална олимпиада по астрономия 2009, II кръг, ученици от 11-12 клас · 8 март 2009 г.

Условие

В своя роман „Пътешествие към Луната“ Жул Верн описва изстрелването на снаряд към Луната от огромно оръдие, вкопано в недрата на планината. Снарядът се изстрелва от екватора така, че да лети радиално от Земята.

Разстоянието Земя-Луна е 384 000 км. Масата на Земята е $6\times10^{24}$ кг, а радиусът 6370 км, гравитационната константа е $\gamma = 6.67\times10^{-11}\ \mathrm{м^3\,кг^{-1}\,сек^{-2}}$ .

• С какава скорост трябва да се изстреля снарядът, така че да достигне до лунната орбита? Не отчитайте съпротивлението на земната атмосфера и гравитационното влияние на Луната върху снаряда.

Стара гравюра — снаряд, изстрелван вертикално нагоре сред стълб от дим и огън.

• Оценете приблизително времето, за което снарядът ще достигне до лунната орбита.

• Отговорете само качествено с какви фактори трябва да се съобрази моментът на изстрелването на снаряда, така че наистина да стигне до Луната.

Отговори

Решение

Необходимата начална скорост $v_0$ на снаряда можем да намерим чрез закона за запазване на енергията. Пълната механична енергия на снаряда в момента на откъсването от земната повърхност е:

E_0 = \frac{mv_0^2}{2} - \frac{\gamma M m}{R}

където $m$ е масата на снаряда, $M$ и $R$ са масата и радиусът на Земята, а $\gamma$ е гравитационната константа. Ако снарядът лети радиално от Земята, то при достигане до лунната орбита скоростта му трябва да стане нула. В този момент енергията на снаряда е:

E = -\frac{\gamma M m}{r}

където $r$ е радиусът на лунната орбита. Съгласно закона за запазване на енергията, $E_0 = E$ , откъдето намираме:

v_0 = \sqrt{2\gamma M\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r}\right)}

v_0 \approx 11.12\ \mathrm{km/s}

Както виждаме, получава се стойност, доста близка до втора космическа скорост за Земята, но в това няма нищо изненадващо, след като условието е корабът да достигне до разстояние от Земята около 60 пъти по-голямо от нейния радиус. Ако решим да отчетем околоосното въртене на Земята, то трябва да отбележим, че за да се движи радиално от нашата планета, снарядът трябва да се изстреля през тунел, който не е точно вертикален, а с лек наклон, и началната скорост на снаряда, освен вертикалната компонента $v_0$ , трябва да има компонента, противоположна на линейната скорост на въртене на точката от земната повърхност, от която той излита.

Времето за достигане на снаряда до лунната орбита можем приблизително да оценим, като приемем, че $r \gg R$ и представим движението на снаряда като орбитално движение около Земята по много силно сплесната елипса с голяма полуос, равна на $r/2$ . Периодът $T$ на такова орбитално движение намираме от III закон на Кеплер:

\frac{(r/2)^3}{T^2} = \frac{\gamma M}{4\pi^2}

T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3/8}{\gamma M}}

Търсеното време $t$ , за което снарядът ще дстигне до лунната орбита, е равно на половината от този период, или:

t = T/2 = \pi\sqrt{\frac{r^3/8}{\gamma M}}

t \approx 418000\ \mathrm{s} \approx 116\ \text{часа} \approx 4.8\ \text{дни} \approx 4\ \text{дни}\ 20\ \text{часа}

При изстрелването си от Земята снарядът се движи радиално от нея и достига лунната орбита в точка A след време 4.8 дни. Тогава и Луната трябва да бъде в същата точка. Луната се движи по своята орбита от запад на изток с период 27.3 денонощия. Денят на изстрелването на снаряда трябва да се избере така, че в него Луната да е отклонена на подходящия ъгъл по своята орбита на запад от точка A и да може да измине този ъгъл за 4.8 дни. Часът на изстрелването трябва да се избере така, че при околосното си въртене Земята да застане в положение, при което точка A е в зенита за пункта, от който се изстрелва снарядът. Съобразно с това трябва да се избере и мястото на изстрелване на снаряда.

Окръжност — лунната орбита; в центъра Земята с означени посоки E и W; точка A на орбитата и Луната, отклонена на запад от A.

Оригинал в Архива: NOA2_2009_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2009_11-12solutions.pdf