НОА 2009, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 1. Звезди

• Условието е изпълнено на земния екватор — там всяка звезда е на едно и също ъглово отстояние $h = 90 - \delta$ от хоризонта в горна и в долна кулминация, т.е. отговарят всички звезди на небето. На полюсите понятията меридиан на мястото и кулминация не са дефинирани (при разширено тълкуване условието формално е изпълнено отново за всички звезди). За междинна географска ширина условието се изпълнява само от звезда, разположена точно на небесния екватор (или точно в небесния полюс).

  Вероятността звезда да лежи точно върху небесния екватор е практически нула за точкови звезди, но е различна от нула, ако се отчетат крайните им ъглови размери.

Нека пренебрегнем собственото движение на звездите.

Кулминация на звезда е преминаването й през меридиана на мястото. Кулминацията, при която звездата е на по-голяма височина над хоризонта, наричаме „горна“, другата кулминация наричаме „долна“. Долната кулминация може да се случи и под хоризонта на наблюдателя.

Да разгледаме двата характерни случая – звезда гледана от екватора и от полюса, и общия случай – звезда гледана от място с междинна географска ширина.

На екватора всички звезди са изгряващи и залязващи. Ако не отчитаме рефракцията, полюсите лежат на хоризонта а звездите се движат по малки кръгове, които са наполовина над хоризонта и нополовина – под него. Очевидно е, че в горна и долна кулминация звездите ше бъдат на едно и също ъглово разстояние от хоризонта $h = 90 - \delta$, където $\delta$ е деклинацията на звездата. Ако звездата е на небесния екватор, то в горна кулминация тя ще преминава през зенита, а в долна – през надира. Ако звездата е на някой от небесните полюси, то тя и в горна и в долна кулминация ще се намира на хоризонта. Следователно, когато сме на екватора на Земята, всички звезди ще са на едно и също ъглово разстояние от хоризонта в горна и долна кулминация.

На полюсите на Земята звездите се движат успоредно на хоризонта. Тук не може да се дефинира понятието меридиан на мястото и следователно не може да се определи момент на кулминация на звездите. Бихме могли да кажем, че за полюсите въпросът е безсмислен. Но, при голямо желание, бихме могли и да приемем, че всички звезди по всяко време са и в горна и в долна кулминация (т.е. всеки меридиан е меридиан на мястото) и условието е изпълнено за всички звезди, при това във всеки един момент от време.

Ако не сме на екватора или полюса има само един денонощен паралел, за който се изпълнява исканото условие. Този паралел съвпада с небесния екватор. Само ако звездата се намира на небесния екватор, тя ще е на едно и също ъглово разстояние от хоризонта в горна и долна кулминация. В горна кулминация звездата ще е над хоризонта, а в долна – под хоризонта.

Разбира се, ако звездата е точно в небесния полюс, горната и долна кулминации съвпадат и условието е изпълнено.

Съществуват ли звезди, които изпълняват поставените условия?

За първия случай, когато сме на екватора, това са всички звезди на небето.

За случая на полюса, както видяхме, има две възможности – или няма нито една звезда, ако приемем, че необходимите понятия не могат да бъдат дефинирани, или, във втория случай, това отново са всички звезди на небето.

За случая на междинна географска ширина въпросът е много по-сложен. Нека приемем, че звездите са точкови обекти, т.е. ъгловите им размери са нула. За да е изпълнено условието за равенство на ъглите звездата трябва да е на небесния екватор. При това трябва да е съвсем точно на небесния екватор. Тъй като звездите са точки, разположени в значителна степен случайно по повърхнина, макар и въображаема (небесната сфера), то вероятността някоя звезда да попадне на точно определена линия (небесния екватор) е практически нула. Ако, обаче, приемем че звездите имат крайни, макар и малки, ъглови размери и приемем, че една звезда е на екватора когато той пресича нейния диск, то тогава вероятността да има звезди на екватора е различна от нула, дори и да е много малка.

Същото се отнася и за случая на звезда точно на небесния полюс.

Всички досегашни разсъждения са направени при едно съществено приближение. Ние негласно приехме, че оста на Земята е неподвижна, т.е. че тя не променя своята ориентация в пространството. Това, обаче, не е така. Поради гравитационното влияние на Луната и Слънцето и поради това, че формата на Земята не е идеално сферична, земната ос прецесира с период около 26000 години, като описва в пространството конус (в първо приближение) с ъгъл при върха 47° и ос насочена към полюса на еклиптиката. Прецесията води до непрекъсната промяна на ориентацията в пространството на небесната ос, на небесния екватор и следователно на моментните координати на звездите и в частност на деклинацията. Дали прецесията премахва всяка възможност условието да бъде изпълнено? Това не е съвсем така. В близост до големия кръг, който минава през еклиптичните полюси и равноденствените точки, деклинацията практически не се променя вследствие на прецесията. В определени моменти от време звезди ще попадат на място, до този голям кръг, в което тяхната деклинация в една горна кулминация ще е точно равна на деклинацията им в следваща долна кулминация. Това ще е вярно само за съответната звезда в точно определен момент от време и следователно за точно определена географска дължина на земната повърхност. Това ще е вярно за съответната точка от екватора както и за полюса. За междинни географски ширини условието ще се изпълни само ако звездата, и в двата момента от време, се намира на небесния екватор. Ако отчетем и прецесията на еклиптиката, т.е. отчетем това, че „окръжността“, която северният небесен полюс описва по небесната сфера, не е затворена, а е по-скоро спирала, то разсъжденията ни от предходния абзац пак ще са верни. Единствено ще се промени, много малко, положението на звездата до разглеждания голям кръг, минаващ през точките на слънцестоене. Двете положения, отговарящи на кулминациите на звездата, вече няма да са симетрично разположени относно големия кръг (за централен момент от време), а ще са леко преместени в една от посоките така, че да се компенсира промяната на деклинацията вследствие на прецесията на еклиптиката.