Съдържание

НОА 2009, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 2. RZ Cassiopeiae

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

XII Национална олимпиада по астрономия 2009, II кръг, ученици от 9-10 клас · 8 март 2009 г.

Условие

Схематична крива на блясъка на RZ Cas: по абсцисата е нанесено времето, по ординатата – блясъкът. Върху почти постоянно ниво се редуват дълбоки главни минимуми и плитки вторични минимуми.

Затъмнително двойната звезда RZ Cassiopeiae представлява система, която се състои от две звезди, обикалящи около общия си център на масите. Орбиталната им равнина е разположена спрямо нас така, че звездите периодично се закриват една друга. Затова в кривата на блясъка на RZ Cas има редуващи се главни и вторични минимуми.

Следващата таблица съдържа данни за двете компоненти на системата RZ Cas.

Компоненти	A	B
Температура	8 600 K	4 700 K
Радиус	1.67 слънчеви радиуси	1.94 слънчеви радиуси

Считайте, че затъмнението на едната компонента от другата е централно.

• Колко пъти видимият блясък на затъмнително двойната звезда в момент на главен минимум (когато по-слабата компонента закрива по-ярката) е по-слаб, отколкото в максимум?

• Пресметнете амплитудата на изменение на звездната величина на променливата звезда.

Отговори

Решение

Схематична светлинна крива на RZ Cas: яркост спрямо време с редуващи се дълбоки главни и плитки вторични минимуми.

От данните можем да изчислим светимостите на двете компоненти:

L_A = 4\pi R_A^2 \sigma T_A^4 \qquad\qquad L_B = 4\pi R_B^2 \sigma T_B^4

където $T_A$ и $T_B$ са температурите на двете компоненти, $R_A$ и $R_B$ са техните радиуси, а $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман. Данните показват, че по-слабата компонента е B. Когато блясъкът на променливата звезда е максимален, ние виждаме светлина и от двете компоненти – те не се закриват една друга. Следователно осветеността $E_{\max}$ , създадена от двойната звезда тогава, е пропорционална на $L_A + L_B$ . При главен минимум получаваме светлина само от по-слабата компонента B и осветеността $E_{\min}$ , създавана в такъв случай е пропорционална на $L_B$ . По-нататък пресмятаме:

\frac{E_{\max}}{E_{\min}} = \frac{L_A + L_B}{L_B} = \frac{L_A}{L_B} + 1

\frac{E_{\max}}{E_{\min}} = \frac{R_A^2 T_A^4}{R_B^2 T_B^4} + 1

\frac{E_{\max}}{E_{\min}} \approx 9.3

Оттук следва, че звездата в минимум е около 9 пъти по-слаба отколкото в максимум.

Амплитудата на изменение на звездната величина $m$ намираме чрез формулата на Погсон:

\lg\left(\frac{R_A^2 T_A^4}{R_B^2 T_B^4} + 1\right) = 0.4\Delta m

\Delta m = 2.5\lg\left(\frac{R_A^2 T_A^4}{R_B^2 T_B^4} + 1\right)

\Delta m \approx 2.4^m

Оригинал в Архива: NOA2_2009_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2009_9-10solutions.pdf