Съдържание

НОА 2009, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Снаряд към Луната

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

XII Национална олимпиада по астрономия 2009, II кръг, ученици от 9-10 клас · 8 март 2009 г.

Условие

В своя роман “Пътешествие към Луната” Жул Верн описва изстрелването на снаряд от огромно оръдие, вкопано в недрата на планината. Вие пътувате в този снаряд и вече сте в космоса. Виждате как нашата Земя става все по-малка, а Луната – по-голяма.

Илюстрация към романа на Жул Верн: снарядът излита нагоре от вкопано в планината оръдие, оставяйки след себе си ярка светла струя и огромни кълбета дим над тъмния планински хребет.

Считайте, че през цялото пътешествие се намирате на правата линия Земя-Луна. Разстоянието от Земята до Луната е 384 000 км. Диаметърът на Луната е 3470 км, на Земята 12740 км. Масата на Луната е 81 пъти по-малка от масата на Земята.

• На какво разстояние X от Земята за вас видимите ъглови диаметри на Луната и на Земята ще се изравнят?

• На какво разстояние Y от Земята силите, с които ще ви привличат Луната и Земята, ще станат равни?

• Защо според вас разстоянията X и Y не са еднакви?

Отговори

Решение

Илюстрация от романа на Жул Верн: изстрелване на снаряд от огромно оръдие, вкопано в планината.

Да означим с $r$ разстоянието от Земята до Луната, а с $D_T$ и $D_L$ – линейните диаметри на Земята и Луната. Когато се отдалечим на разстояние X от Земята, видимите ъглови диаметри на Земята и на Луната ще бъдат съответно:

\delta_T = \frac{D_T}{X} \qquad\qquad \delta_L = \frac{D_L}{r-X}

От равенството $\delta_T = \delta_L$ намираме

X = \frac{D_T}{D_T + D_L}\,r

X \approx 302000\ \text{km}

Означаваме с $M_T$ и $M_L$ масите на Земята и Луната, с $m$ масата на снаряда, а с $\gamma$ гравитационната константа. Когато снарядът е на разстояние Y от Земята, силите, с които го привличат Земята и Луната, съгласно закона на Нютон, са следните:

F_T = \gamma\frac{M_T m}{Y^2} \qquad F_L = \gamma\frac{M_L m}{(r-Y)^2}

От равенството $F_T = F_L$ намираме:

\frac{r-Y}{Y} = \sqrt{\frac{M_L}{M_T}} = \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9}

Y \approx \frac{9}{10}r \approx 346000\ \text{km}

Разстоянията X и Y не са еднакви, защото зависят от различни величини, свързани със Земята и Луната, като при това самите зависимости са различни. Видимите ъглови диаметри на Земята и Луната, от които се определя разстоянието X, са право пропорционални на линейните диаметри на двете тела и обратно пропорционални на разстоянията до тях. Гравитационните сили, действащи на снаряда от Земята и Луната, от които се определя разстоянието Y, са пропорционални на масите на двете тела и обратно пропорционални на квадратите на разстоянията до тях.

Оригинал в Архива: NOA2_2009_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2009_9-10solutions.pdf