НОА 2009, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Юпитер и Ганимед.

• D_Г ≈ 5257 км; M_Ю = v²·r/γ ≈ 1.8×10²⁷ kg

  Истинската маса на Юпитер е 1.9×10²⁷ kg.

Решение: Виждаме, че с напредване на времето Ганимед се приближава към диска на Юпитер и след това започва да се скрива зад него. Тъй като Ганимед има право движение, то той се приближава към западната половина на диска на планетата. Следователно на първите две изображения се вижда западната и южната част на диска на Юпитер.
Диаметъра на Ганимед можем да определим като го сравним с екваториалния радиус на Юпитер. Построяваме една или няколоко прави успоредни на системата ивици по повърхността на Юпитер, които са успоредни на видимия екватор на планетата. Построяваме права, перпендикулярна на тях и допирателна към западния край на диска на планетата, където е и западния край на видимия екватор на диска на Юпитер. Построяваме права успоредна на ивиците и допирателна към южния край на диска на Юпитер. Точката на допиране е почти в Южния полюс на планетата поради пренебрежимо малкия наклон на оста на Юпитер. Отсечката от Южния полюс до точката на пресичане на правата с допирателната към западния край на диска е равна на екваториалния радиус на планетата. Измерваме с линийка и получаваме $R_{Ю} = 68\ \mathrm{мм}$. Делим истинския размер на екваториалния радиус на измерената стойност и получаваме, че мащабът на изображението е 1051.4 км на милиметър.
Измерваме диаметъра на Ганимед в милиметри и получаваме $D_Г = 5\ \mathrm{мм}$. Умножаваме по мащаба и получаваме за истинския диаметър на Ганимед $D_Г = 5257\ \mathrm{км}$.
Да преминем към изображенията със скриването на диска на Ганимед зад Юпитер. За да определим масата на Юпитер трябва да определим скоростта на движение на Ганимед по орбитата му. При наблюдаваното скриване на Ганимед зад Юпитер, той се намира в най-далечната част на орбитата си и се движи перпендикулярно на лъча на зрение на наблюдателя. Това е така, защото радиусът на орбитата на Ганимед е съществено по-голям от радиуса на Юпитер. От друга страна Юпитер е наблюдаван след квадратура и следователно е недалеч от точката на стоене. В тази точка той видимо не се движи спрямо звездите, а близо до нея се движи спрямо тях много бавно. Пребрегваме това движение, имайки предвид неголямата точност на графичните построения и измервания. Тогава наблюдаваното движение на Ганимед спрямо Юпитер ще представлява сидерично движение и измерената скорост ще бъде сидеричната скорост на Ганимед по неговата орбита. Точно тази скорост ни е необходима за пресмятане на масата на Юпитер.
Равнините на орбитите на Галилеевите спътници лежат почти точно в равнината на екватора на Юпитер. Следователно видимото движение на Ганимед става по права успоредна на екватора на планетата. Тази права е наклонена към рамките на изображенията на същия ъгъл както и на първите два изображения. Измерваме или пресмятаме ъгла (от някой правоъгълен триъгълник) и получаваме за ъгла на наклона на екватора към хоризонталната рамка $\alpha = 40^{\circ}.5$. Скриването на западната точка на диска на Ганимед зад края на диска на Юпитер става точно там, където става и скриването на източната точка от диска на Ганимед. Ние, обаче, не можем да използваме тези моменти. От една страна е почти невъзможно да се проследят тези точки от изображение към изображение. От друга страна е съвършенно невъзможно да се идентифицира и проследи съответната точка от диска на Юпитер. Това което можем да измерим е скоростта на потапяне на Ганимед зад диска на Юпитер. Измерваме диаметъра на видимия на изображенията диск на Ганимед и получаваме $D_{2Г} = 11\ \mathrm{мм}$. Измерваме височината на частта $\Delta x$ от диска на Ганимед, която остава, все още, над края на диска на Юпитер. Използваме шест от изображенията, от второ до седмо (от 22:11 UT до 22:19 UT). При тях е възможно да се направят достатъчно прецизни измервания. Построяваме графика на зависимостта на $\Delta x$ от времето. Виждаме, че тя е леко извита. Това се дължи на това, че във всеки момент от време най-високата точка от диска на Ганимед се намира над все по южна точка от края на диска на Юпитер. Една от точките не лежи на кривата (от 22:16 UT). Вероятно причината е в това, че изображението е правено в близката инфрачервена област – 892 nm. Намираме средният наклон на кривата като използваме първата и последната точки. Виждаме, че за 8 минути се скриват 6.9 мм от диска на Ганимед.
От Фиг.1 се вижда, че е достатъчно да определим времето за което се потапя частта $\Delta x_1$ от диска на Ганимед. Тази част е:

Времето за което тази част се скрива е:

Това е времето за което Ганимед изминава един свой диаметър по орбитата си. Скоростта с която той се движи е:

Орбитата на Ганимед е почти кръгова. Тогава от формулата за първа космическа скорост получаваме:

Истинската маса на Юпитер е $1.9\times10^{27}$ kg. Виждаме, че с елементарни измервания и пресмятания може да получим много добра оценка за масата на Юпитер.