Съдържание

НОА 2009, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ · НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · III кръг · Теоретичен тур, 11 април 2009 г. · Ученици от 11-12 клас · 11 април 2009 г.

Внимание: Бележка към темата

Турът е разделен на теоретичен (11 април 2009) и практически (12 април 2009) — заглавията и датите са отпечатани на съответните страници.

Условие

В последно време астрономите откриват множество планети около други звезди. В сравнение с планетите от родната ни Слънчева система, преобладаващата част от тези далечни планети са твърде необикновени. Една такава планета е открита около звездата WASP 4. Звездата е от спектрален клас G7, с температура 5500 K и радиус 1.15 слънчеви радиуса. Намира се на 300 парсека от нас. Планетата е с маса 1.12 пъти по-голяма от масата на Юпитер и обикаля около звездата на разстояние само 0.023 астрономически единици с период 1.3382 земни денонощия.
Графиката показва изменението на блясъка на звездата по време на наблюдаван пасаж на планетата по диска на звездата. Използвайте данните от графиката и определете радиуса на планетата. Направете това по два начина и сравнете получените от вас резултати. Коментирайте разликите.
При пасажа планетата преминава приблизително през центъра на видимия диск на звездата. По вертикалната скала е нанесена не самата видима звездна величина на звездата, а нейното изменение спрямо стойността, която има извън времето на пасажа.

Светлинна крива на звездата WASP 4: Delta Mag по вертикалната ос (от -0.02 до 0.06) срещу Phase (0.90–1.10) по хоризонталната ос; пасаж с дълбочина около 0.03 mag около фаза 1.00; в долния десен ъгъл е изписано „Euler“.

Отговори

Решение

Решение: Намаляването на блясъка на звездата се дължи на това, че планетата застава между нея и наблюдателя като засенчва част от светлината. Когато планетата не е пред звездата, осветеността $E_o$ , която звездата създава на Земята, е пропорционална на $\pi R_{зв}^2$ , където $R_{зв}$ е радиусът на звездата:

E_o \sim \pi R_{зв}^2

Когато планетата е пред звездата светлина идва само от тази част от звездата, която не е засенчена от диска на планетата:

E_1 \sim \pi(R_{зв}^2 - R_{пл}^2)

От формулата на Погсон:

E_o/E_1 = 2.512^{\Delta m}

R_{зв}^2/(R_{зв}^2 - R_{пл}^2) = 2.512^{\Delta m}

R_{пл} = R_{зв}\left(1 - 1/2.512^{\Delta m}\right)^{1/2}

Измерваме амплитудата на изменение на блясъка и получаваме: $\Delta m = 0.032$
Пресмятаме и получаваме за $R_{пл}$ : $R_{пл} = 0.17 R_{зв} \approx 140000\ km$
Вторият начин за определяне на размерите на звездата е свързан с геометрията на затъмнението. Затъмнението започва, когато дискът на планетата започне да засенчва диска на звездата. Максимална фаза настъпва, когато целият диск на планетата застане пред диска на звездата. Следва плосък минимум докато дискът на планетата не достигне срещуположния край на диска на звездата. Следва край на затъмнението в обратен ред. В пълна фаза обикновенно се наблюдава известна заобленост на минимума. Тя се дължи на потъмнението към края на диска на звездата. Основните моменти на затъмнението схематично са показани на Фиг.1.
Ширината в горната част на минимума е равна на:

L_1 = 2(R_{зв} + R_{пл})

Ширината в долната част на минимума плюс интервалът на покачване на блясъка е:

L_2 = 2R_{зв}

Делим първия израз на втория и получаваме:

L_1/L_2 = 1 + R_{пл}/R_{зв}

R_{пл} = (L_1/L_2 - 1)\,R_{зв} = 0.17R_{зв} \approx 140000\ km

Виждаме, че двата метода водят до еднакви или близки резултати.

Схема на пасаж: кръг „звезда“; дискът на планетата в четири положения 1, 2, 3, 4, надпис „планета“ и стрелки за посоката на движение; пунктирни линии от центровете на дисковете надолу към трапецовидната светлинна крива с плосък минимум. — Фиг.1

Справочни данни

Справочни данни:

Радиус на Слънцето 700 000 км; Гравитационна константа $\gamma = 6.67\times10^{-11}\ \mathrm{м^3/кг.с^2}$

Орбитален период на Фобос – 0.31891 земни денонощия, радиус на орбитата – 9000 км

Орбитален период на Деймос – 1.26244 земни денонощия, радиус на орбитата – 23000 км

Период на околоосно въртене на Марс – 1.02595 земни денонощия

Радиус на Марс – 3397 км

Справочни данни (към решенията)

Справочни данни:

Радиус на Земята 6370 км; Радиус на Слънцето 700 000 км;

Орбитален период на Фобос – 0.31891 земни денонощия

Орбитален период на Деймос – 1.26244 земни денонощия

Период на околоосно въртене на Марс – 1.02595 земни денонощия

Оригинал в Архива: NOA3_2009_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2009_11-12solutions.pdf