Съдържание

НОА 2009, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ · НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · III кръг · Теоретичен тур, 11 април 2009 г. · Ученици от 11-12 клас · 11 април 2009 г.

Внимание: Бележка към темата

Турът е разделен на теоретичен (11 април 2009) и практически (12 април 2009) — заглавията и датите са отпечатани на съответните страници.

Условие

Вие сте придворен астроном при велик марсиански владетел. Наблюдавате спътниците Фобос и Деймос с цел да усъвършенствате марсианската календарна система. В каква посока ще става видимото денонощно движение на Фобос и Деймос по марсианското небе? За времето между два изгрева на Деймос колко изгрева на Фобос ще се наблюдават?
Да предположим, че в някакъв момент наблюдател на марсианския екватор вижда окултация на Деймос от Фобос. В какъв интервал от време около този момент ще съществуват точки от повърхността на Марс, от които също ще може да се види окултация на Фобос и Деймос? Приемаме, че орбитите на двата спътника лежат в екваториалната равнина на Марс

Отговори

Решение

Решение:
Двата спътника на Марс се движат около планетата в същата посока, в която става и околоосното ѝ въртене. Веднага виждаме, че орбиталният период да Фобос $T_F$ е по-кратък от периода на околоосно въртене на Марс $T_M$ . Това означава, че за наблюдател на марсианската повърхност Фобос ще изгрява от запад и ще залязва на изток. Орбиталният период на Деймос $T_D$ е по-дълъг от $T_M$ , така че Деймос ще изгрява от изток и ще залязва на запад. Нека времената между два изгрева на Фобос и на Деймос са съответно $T_F'$ и $T_D'$ . В сила са следните съотношения:

\frac{1}{T_F'} = \frac{1}{T_F} - \frac{1}{T_M}

\frac{1}{T_D'} = \frac{1}{T_D} - \frac{1}{T_M}

От тях получаваме:

T_F' = \frac{T_F T_M}{T_M - T_F} \approx 0.463\ \text{денонощия}

T_D' = \frac{T_D T_M}{T_M - T_D} \approx 5.477\ \text{денонощия}

\frac{T_D'}{T_F'} \approx 11.8

Получава се, че за времето между два изгрева на Деймо сФобос може да изгрее 11 пъти!
Нека в даден момент за наблюдател на марсианския екватор се вижда окултация на Деймос от Фобос, която е в зенита. В някакви моменти от време малко преди или малко след този момент от съседни точки на повърхността на Марс също могат да се виждат такива окултации. Точките са ограничени върху дъгата А'А''. Нека разглеждаме ситуацията в координатна система, която се върти около центъра на Марс заедно с Деймос. Интервалът от време, който търсим е равен на интервала от време, за който Фобос изминава дъгата В'В'' от своята орбита в тази координатна система, или с други думи, като се движи с ъглова скорост, съответстваща на синодичния му период спрямо Деймос:

T_{FD} = \frac{T_F T_D}{T_D - T_F} \approx 0.427\ \text{денонощия}

Нека $r_F$ и $r_D$ са радиусите на орбитите на Фобос и Деймос, а $R_M$ е радиусът на Марс. За ъглите $\alpha$ и $\beta$ получаваме:

\alpha = \arccos\frac{R_M}{r_F} \approx 67.8^{\circ}

\beta = \arccos\frac{R_M}{r_D} \approx 81.5^{\circ}

Дъгата В'В'' съответства на ъгъл $2(\beta - \alpha) = 27.4^{\circ}$ . Тя ще сеизмине от Фобос за време:

t = T_{FD}\cdot\frac{27.4^{\circ}}{360^{\circ}} \approx 0.032\,d \approx 47\,min

В този времеви интервал ще могат да се наблюдават окултации на Деймос от Фобос.

Схема: орбитите на Деймос и Фобос около Марс (M); отбелязани са точките B на орбитата на Деймос, B, B', B'' на орбитата на Фобос, дъгата A'A'' на повърхността на Марс и ъглите α и β.

Справочни данни

Справочни данни:

Радиус на Слънцето 700 000 км; Гравитационна константа $\gamma = 6.67\times10^{-11}\ \mathrm{м^3/кг.с^2}$

Орбитален период на Фобос – 0.31891 земни денонощия, радиус на орбитата – 9000 км

Орбитален период на Деймос – 1.26244 земни денонощия, радиус на орбитата – 23000 км

Период на околоосно въртене на Марс – 1.02595 земни денонощия

Радиус на Марс – 3397 км

Справочни данни (към решенията)

Справочни данни:

Радиус на Земята 6370 км; Радиус на Слънцето 700 000 км;

Орбитален период на Фобос – 0.31891 земни денонощия

Орбитален период на Деймос – 1.26244 земни денонощия

Период на околоосно въртене на Марс – 1.02595 земни денонощия

Оригинал в Архива: NOA3_2009_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2009_11-12solutions.pdf