НОА 2009, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3

• Видимите звездни величини са $9.7^\mathrm{m}$ за главната и $15.7^\mathrm{m}$ за слабата компонента – и двете са по-ярки от пределната $16^\mathrm{m}$, така че блясъкът им е достатъчен. Разстоянието между компонентите е $r \approx 10$ AU, което от 100 парсека се вижда под ъгъл $0.1''$ – под разделителната способност $1''$, затова двете компоненти не могат да се различат като отделни звезди.

  Отделни числени резултати: $m_1 = 9.7^\mathrm{m}$, $m_2 = 15.7^\mathrm{m}$, $r \approx 10$ AU, ъглово отстояние $\approx 0.1''$.

Ярката звезда в системата е подобна на Слънцето, затова приемаме, че има същата светимост и съответно – същата абсолютна звездна величина $4.7^\mathrm{m}$. Абсолютната звездна величина е звездната величина, която звездата би имала на разстояние 10 парсека от нас. В нашия случай звездата е на 100 парсека, или на 10 пъти по-голямо разстояние. Следователно нейният видим блясък ще намалее $10^2 = 100$ пъти в сравнение с блясъка, който би имала на разстояние 10 парсека. Намаление на блясъка 100 пъти съответства на увеличение на звездната величина с $5^\mathrm{m}$. Така лесно получаваме, че видимата звездна величина на ярката звезда в двойната система е:

Другата звезда в системата има светимост 251.2 пъти по-слаба от главната компонента. Да погледнем внимателно това число: $251.2 = 2.512 \times 100$. Оттук се вижда, че разликата в звездните величини на компонентите е $5^\mathrm{m} + 1^\mathrm{m} = 6^\mathrm{m}$. Накрая получаваме, че звездната величина на слабата компонента е:

Тъй като пределната звездна величина при наблюдение с 2-метровия телескоп в Националната астрономическа обсерватория е $16^\mathrm{m}$, с него би трябвало да виждаме слабата компонента.

Нека с $M$ означим масата на главната компонента, а с $T$ - периодът, с който двете звезди се движат около центъра на масите на системата. Да отбележим, че масата на вторичната компонента е $0.25\ M$. От III закон на Кеплер можем да получим оценка за разстоянието $r$, на което се намират компонентите една от друга:

Ако изразяваме $r$ в астрономически единици, $T$ в години и $M$ в слънчеви маси, можем да напишем:

Дали бихме могли да различим като отделни двете компоненти с телескопа? Разстоянието до двойната система е 100 парсека. Един парсек е разстоянието, от което една астрономическа единица се вижда под ъгъл $1''$. От разстояние 100 парсека 10 астрономически единици се виждат под ъгъл $0.1''$. Но разделителната способност на нашия телескоп е $1''$. Следователно дори и да можем да видим с него звезда с толкова слаб блясък, както блясъка на вторичната компонента, ние не бихме могли да различим тази звезда и по-ярката компонента като отделни звезди.