Съдържание

НОА 2009, III кръг (национален), 9–10 клас, теория — Задача 4. Планета около Фомалхаут

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

XII Национална олимпиада по астрономия 2009, III кръг, ученици от 9-10 клас · 11 април 2009 г.

Условие

Разполагате с негативно изображение на малка област около звездата Фомалхаут – $\alpha$ Южна риба. Самата звезда е засенчена с екран, чиято сянка се вижда на изображението. На снимката се вижда пръстен от прах недалеч от вътрешната страна на който е открита планета. Тя е в малкия квадрат отдясно под който е изобразен същият квадрат, но в уголемен размер. В големия квадрат са отбелязани две положения на планетата. В тях тя е била заснета директно с телескоп през 2004 и 2006 години. Освен това на изображението са показани посоките по небесната сфера и е дадена мащабна отсечка. Направете необходимите измервания и пресметнете масата на Фомалхаут. Представете я в слънчеви маси. Масата на Слънцето е $2\times10^{30}$ kg.

Негативна снимка на диска от прах около Фомалхаут с маркиран малък квадрат и увеличен квадрат долу вдясно, в който планетата е отбелязана в две положения – 2004 и 2006 г.

Отговори

Решение

Пръстенът от прах има форма близка до елипса. Фомалхаут, обаче, се намира недалеч от центъра на елипсата, а не в някой от фокусите ѝ. Това означава, че елипсата е проекция върху небесната сфера на почти кръгов пръстен близо до центъра на който се намира Фомалхаут. Положението на планетата е неблагоприятно за директно определяне на разстоянието ѝ до звездата. Тя е в посока към нас и надясно. Знаейки, че елипсата е проекция на кръг, измерваме разстоянието $r_1$ от центъра (от Фомалхаут) до планетата и по същия радиус – до праховия пръстен разстоянието $r_{o1}$ . Получаваме $r_1 = 82$ mm и $r_{1o} = 97$ mm. Истинският радиус на пръстена може да намерим като измерим голямата полуос на елипсата. Измерваме наляво до най-издадената част на елипсата $r_{o2} = 105$ mm. Ако си представим, че планетата е разположена наляво, по протежение на отсечката $r_{o2}$ , то разстоянието до нея ще бъде:

r_2 = r_1 ( r_{o2} / r_{o1} ) = 89\ mm

Да пресметнем в астрономически единици. Мащабната отсечка е дълга 75 mm. На тях отговарят 100AU. Мащабът е:

k = x\,[AU] / x\,[mm] = 100/75 = 1.333\ AU/mm\ .

Пресмятаме:

r_2\,[AU] = 119\,AU

Измерваме размерите на двата квадрата и виждаме, че отношението в линейните им размери е 10. Измерваме разстоянието между изображенията на планетата в големия квадрат. Получаваме $y_1 = 9.5$ mm. Тогава в малкият квадрат и следователно в основното изображение, това разстояние трябва да е $y_2 = 0.95$ mm. Това разстояние, обаче, не можем да превърнем веднага в астрономически единици – AU. Причината за това е, че виждаме отсечката, съединяваща двете положения на планетата, в ракурс. По тази причина видимото разстояние между тях е по-малко от истинското. За да видим какво е истинското разстояние трябва да ги разположим в плоскост перпендикулярна на лъча на зрение. За тази цел ще завъртим равнината в която те се намират до ъгъл $90^\circ$ към лъча на зрение. Виж Фиг.1 .

Сфера с голям кръг и наклонен кръг, с две пунктирни отсечки отдясно, означени y1 и y1′, и стрелка, показваща завъртането.

Фиг. 1

Тъй като голямата ос на елипсата е перпендикулярна на лъча на зрение при завъртането хоризонталният размер на дъгичката на изминатия от планетата път няма да се промени.

На практика това става, като нарисуваме вероятната орбита на планетата ( или част от нея ), от вътрешната страна на праховия пръстен, като вземем предвид леката изтегленост на пръстена надясно, така както би изглеждала, ако лъчът на зрение би бил перпендикулярен на равнината на орбитата.

Построяваме част от орбитата на планетата върху изображението, в двете ориентации. Пренасяме успоредно в големия квадрат. Отбелязваме вероятните положения на планетата. Измерваме $y'_1$ и получаваме: $y'_1 = 12.5$ mm.

В мащаба на основното изображение: $y'_2 = y'_1 / 10 = 1.25$ mm

В астрономически единици: $y'_2\,[AU] = k \cdot y'_2 = 1.67$ AU

Това разстояние е изминато от планетата за $t_2 = 2$ години. Поради това, че планетата се движи почти по кръгова орбита, използваме формулата за първа космическа скорост. От нея следва:

v_I = y'_2 / t_2 = (\gamma M / r_2 )^{1/2}

M = ( r_2 / \gamma)(y'_2 / t_2)^2

M = 4.2 \times 10^{30}\ \text{kg}

M = 2.1\ M_\odot

Оригинал в Архива: NOA3_2009_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2009_9-10solutions.pdf