Съдържание

НОА 2009, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Две слънца

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

XII Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, Теоретичен тур, Младша възраст

Условие

Сияйната планета си има не едно, а цели две слънца, същите като нашето Слънце. В тази двойна звездна система планетата се намира в една от точките на Лагранж, която образува равностранен триъгълник с двете звезди. Планетата и двете звезди се движат по кръгови орбити, запазвайки равностранния триъгълник. Масата на планетата е много по-малка от масите на звездите – може да се счита, че при движението си звездите не се влияят от нейното присъствие.

Сияйната планета по размери е същата като Земята. Като цяло тя получава от двете свои слънца също толкова лъчиста енергия в единица време, колкото Земята получава от Слънцето.

• Намерете в астрономически единици дължината на страната на равностранния триъгълник, който планетата образува със звездите. Намерете орбиталния период на системата в земни години.

• Периодът на околоосно въртене на Сияйната планета е 66 земни часа, а нейната ос е перпендикулярна на орбиталната ѝ равнина. Определете продължителността на деня и продължителността на нощта на Сияйната планета. Под ден разбираме времето, през което центровете и на двете слънца са над хоризонта. Не отчитайте рефракцията.

Решение

Внимание: Непълно решение

Официалното решение е непълно.

Понеже двете звезди са като Слънцето, то масите им считаме за еднакви и равни на масата на Слънцето $M_0$ . Следователно двете звезди се движат около общия си център на масите по окръжност с диаметър $d$ , равен на разстоянието между тях. Дължината на страната на равностранния триъгълник, образуван от Сияйната планета и звездите, е всъщност равна на $d$ . Звездите се движат една около друга под действие само на своите гравитационни сили, а въздействието върху тях на планетата не отчитаме, понеже е нищожно малко. Ето защо, орбиталния период $T$ на движение на звездите можем да намерим от ІІІ закон на Кеплер в обобщен вид:

\frac{d^3}{T^2}=\frac{\gamma\cdot2M_0}{4\pi^2}

Ако $d$ е в астрономически единици, а $T$ в години, то можем да напишем:

\frac{d^3}{T^2}=2

Оттук за орбиталния период получаваме:

T=\sqrt{\frac{d^3}{2}}\qquad (1)

Светимостите на всяка от звездите също считаме равна на светимостта на Слънцето $L_0$ . Планетата, огрявана от двете звезди, като цяло получава от тях в единица време същата енергия, както Земята от Слънцето. Тъй като размерите на Земята и на Сияйната планета са еднакви, то от тях не зависи общото количество лъчиста енергия, което Земята и планетата получават от своите звезди. За съотношението на разстояниeто $d$ от всяка от звездите до Сияйната планета и разстоянието $d_0=1\ \mathrm{AU}$ от Земята до Слънцето можем да напишем:

\frac{L_0}{d^2}=\frac{2L_0}{d^2}

Така получаваме:

d=d_0\sqrt2

d=\sqrt2\ \mathrm{AU}\approx1.414\ \mathrm{AU}

Заместваме в (1), за да получим орбиталния период:

T=\sqrt{\frac{\sqrt2^3}{2}}=\sqrt[4]2\ \mathrm{yr}\approx1.189\ \mathrm{yr}

Периодът на околоосно въртене на планетата $P$ e свързан с продължителността на слънчевото денонощие $P_1$ чрез следното съотношение:

\frac1{P_1}=\frac1P-\frac1T

P_1=\frac{PT}{T-P}

P_1\approx66.42\ \mathrm h

Понеже оста на въртене на планетата е перпендикулярна на орбиталната й равнина, продължителностите на деня и на нощтта ще са едни и същи за всички географски ширини, освен на полюсите. За обитател на Сияйната планета всеки ден в небето ще изгряват две слънца, отстоящи на $60^\circ$ едно след друго. Денят ще започва с изгрева на първото слънце. То ще залезе след период, равен на половината от слънчевото денонощие $P_1$ , след него второто слънце ще остане над хоризонта още в продължение на $1/6$ от слънчевото денонощие. Следователно продължителността на деня ще бъде равна на $1/2+1/6=2/3$ от $P_1$ , или 44.28 часа. Продължителността на нощта ще бъде съответно $P_1/3\approx22.14\ \mathrm h$ .

Тези пресмятания са направени при предположение, че планетата се върти около оста си в същата посока, в която обикаля по орбитата си. Ако планетата се върти обратно, слънчевото денонощие би било $P_1\approx66-0.42=65.58\ \mathrm h$ . Продължителностите на деня и нощта съответно биха били 43.72 и 21.86 часа.

Оригинал в Архива: NOA4_2009_MLproblems.pdf · официални решения: NOA4_2009_MLsolutions.pdf · допълнителни данни: a09-IV-teorML.docx