НОА 2009, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Пасаж на Венера

На схемата е показано разположението на Земята и Венера по време на пасаж. За да се проектира Венера върху слънчевия диск за земния наблюдател, тя трябва да се намира в участъка от орбитата си AB. От нашата планета Слънцето се вижда под ъгъл $\delta=32'$, следователно под такъв ъгъл се вижда и дъгата AB. Поради факта, че централният ъгъл на тази дъга е малък, ще я апроксимираме с отсечка. Означаваме радиусите на орбитите на Венера и Земята съответно с $r_V$ и $r_T$.

Оттук следва, че ъгълът, под който тази отсечка се вижда от Слънцето (т.е. дъгата, която отсича от орбитата на Венера) е:

Нека да преминем в отправна система, в която Земята е неподвижна. Това значително улеснява решаването на задачата, защото така не се налага да отчитаме движението на Земята по нейната орбита. Всъщност в тази отправна система Венера се движи с по-малка ъглова скорост, отколкото в действителност:

където $\omega_V=2\pi/T_V$ и $\omega_T=2\pi/T_T$ са ъгловите скорости на Венера и Земята (С $T_V$ и $T_T$ сме означили орбиталните периоди на двете планети).

За да пресече областта AB (т.е. за да премине пред диска на Слънцето за земния наблюдател), Венера трябва да измине ъгъл $\beta$ по своята орбита. В избраната отправна система тя се движи с ъглова скорост $\omega$ и това ще стане за интервал от време:

Следователно един централен пасаж на Венера пред диска на Слънцето ще продължи около 8 часа.

За да отговорим на втория въпрос, нека първо да намерим скоростите на движение на двете планети $V_V$ и $V_T$. Те са:

В момента на пасажа двете планети се движат успоредно една на друга. Следователно, относителната им скорост на движение е:

Гледано от Венера, за времето на окултацията Земята се премества на един свой диаметър (тъй като считаме звездите за точкови обекти). Означаваме с $R_T$ радиуса на Земята и намираме търсената продължителност: