Съдържание

НОА 2009, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Видим ъглов диаметър на Луната: перигей и апогей

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2009

XII Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, практически тур, младша възраст

Условие

В таблицата са представени данни от измервания на видимия ъглов диаметър на Луната през опреден период от 2009 г. Начертайте графика на изменението на видимия ъглов диаметър с времето. По графиката определете кога Луната е в перигея и в апогея на своята орбита.

Дата, $0^{h}$ UT	Ъглов диаметър, дъгови минути	Дата, $0^{h}$ UT	Ъглов диаметър, дъгови минути	Дата, $0^{h}$ UT	Ъглов диаметър, дъгови минути
15.06.2009	30,35	26.06.2009	32,64	07.07.2009	29,69
16.06.2009	30,60	27.06.2009	32,00	08.07.2009	29,48
17.06.2009	31,18	28.06.2009	31,74	09.07.2009	29,55
18.06.2009	31,61	29.06.2009	31,18	10.07.2009	29,85
19.06.2009	32,00	30.06.2009	30,82	11.07.2009	29,99
20.06.2009	32,55	01.07.2009	30,46	12.07.2009	30,25
21.06.2009	32,90	02.07.2009	30,18	13.07.2009	30,32
22.06.2009	33,01	03.07.2009	29,99	14.07.2009	30,79
23.06.2009	33,45	04.07.2009	29,85	15.07.2009	31,25
24.06.2009	33,27	05.07.2009	29,50
25.06.2009	32,75	06.07.2009	29,55

1 Пресметнете ексцентрицитета на лунната орбита.

2 Определете разстоянието от Земята до Луната в перигей и апогей. Радиусът на Луната е 1737,1 км.

Отговори

Решение

Решение:

Начертаваме графиката на изменението на видимия ъглов диаметър на Луната с времето. Прекарваме плавна крива през точките. По метода на хордите определяме моментите, когато Луната е в перигей – най-близо до Земята и следователно с най-голям видим ъглов диаметър, и в апогей – с най-малък ъглов диаметър. За да определим момента на перихелия, намираме средите на хоризонталните хорди, свързващи възходящата част на графиката до точка $A_p$ и низходящата част. Прекарваме права линия през тези хорди. Точката $A_p$ е пресечната точка на графиката с тази права. Спускаме перпедникуляр от $A_p$ до скалата на времето. Намираме времевата координата на тази точка чрез интерполация. Измерваме отсечките $x_1$ и d . Както виждаме по скалата, отсечката d отговаря на интервал от 5 денонощия.

Графика на видимия ъглов диаметър на Луната (в дъгови минути) по дати от 11.6.2009 до 21.7.2009: максимум ~33,2' около 23 юни и минимум ~29,5' около 7 юли.

Момента на перихелия намираме по интреполационната формула:

T_p = 21.06. + \frac{x_1}{d}\cdot 5\ \text{денонощия}

T_p \approx 23.06.2009,\ 03\ \text{h UT}

Чрез интерполация по вертикалната ос намираме, че когато Луната е в перигей, нейният видим ъглов диаметър е $\delta_p = 33.20'$ . По аналогичен начин получаваме за момента на апогея. $T_a \approx 07.07.2009,\ 01\ \text{h UT}$ и видим ъглов диаметър на Луната $\delta_p \approx 29.50'$ . Перицентралното и апоцентралното разстояние при движение по елипса около някакъв гравитационен център са свързани с ексцентрицитета $e$ на орбитата чрез следните формули:

r_p = a(1-e)

r_a = a(1+e)

къдета $a$ е голямата полуос на елипсата. Разделяме почленно двете уравнения и получаваме:

\frac{r_a}{r_p} = \frac{1+e}{1-e}

Но ние знаем, че:

\frac{r_a}{r_p} = \frac{\delta_p}{\delta_a}

Оттук пресмятаме:

e = \frac{\dfrac{\delta_p}{\delta_a} - 1}{\dfrac{\delta_p}{\delta_a} + 1}

e \approx 0.059

Разстоянието до Луната в перигей намираме от съотношението:

r_p = \frac{2R}{\delta_p}

където R е радиусът на Луната в километри, а $\delta_p$ е нейният видим ъглов диаметър в радиани.

r_p = \frac{2R}{\delta_p \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ \cdot 60'}}

r_p \approx 360000\ \text{km}

Аналогично за разстоянието в апогей получаваме

r_a \approx 405000\ \text{km}

Оригинал в Архива: NOA4_2009_MLprak-prob.pdf · официални решения: NOA4_2009_MLprak-sol.pdf