НОА 2010, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2

• $s_1 \approx 3164$ km (кулминация на юг) и $s_2 \approx 2141$ km (кулминация на север)

  Задачата има два отговора, защото не е указано в коя посока се наблюдава кулминацията на Процион в точка B.

Решение:

Първо да определим разликата в географските дължини на двете точки от земната повърхност. Превръщаме интервала време $t$ между двете наблюдения в единици звездно време:

(в единици звездно време)

От това време изваждаме разликата в ректасцензиите на двете звезди, за да получим разликата в географските дължини на наблюдателите. Получаваме, че разликата е:

като пункт В се намира на запад от пункт А. Нека превърнем тези единици в градусна мярка за по-лесни пресмятания.

Тъй като се иска приблизително решение и поради близостта на двете точки до екватора ние няма да ползваме сферична тригонометрия и няма да отчитаме влиянието на географската ширина на двата пункта върху разстоянието по географска дължина в градуси и километри.

Сега да определим разликите в географските ширини. В пункт А наблюдателят вижда Сириус в зенита. Следователно географската ширина на пункт А е равна на деклинацията на Сириус:

В пункт В наблюдателят вижда звездата в горна кулминация на височина $85°$. Следователно географската ширина на наблюдателя се различава с 5 градуса от деклинацията на Процион. Тъй като не е посочено в коя посока се наблюдава кулминацията, трябва да разгледаме два случая. Първи случай – кулминацията се наблюдава на юг и втори случай – кулминацията се наблюдава на север. В първия случай, за да получим географската ширина на пункта, към деклинацията на звездата добавяме 5 градуса. Във втория – изваждаме 5 градуса. За първия случай получаваме:

а за втория:

Намираме разликите в географските ширини:

Виждаме, че и двата пункта се намират близо до екватора. Близо до екватора координатната мрежа на географските координати не се различава много от правоъгълната. Двата пункта са сравнително близо един до друг. Освен това в задачата се иска приблизително определяне на разстоянието. Затова ще заместим сферичната координатна система с правоъгълна координатна система в равнина и ще решаваме задачата като планиметрична. Използваме теоремата на Питагор и определяме разстоянието между двата пункта в ъглови единици за двата случая:

Пълната обиколка на Земята е $L = 2\pi R \approx 40024$ км, където $R$ е радиусът на Земята. На тази дължина съответстват $360°$ в ъглови единици. Следователно на всеки градус съответстват $40024/360° \approx 111.18$ km/°. Пресмятаме двете разстояния в километри и получаваме:

Критерии за оценяване (10т.):

За определяне на разликата в географските дължини и съобразяване в каква посока е точка В спрямо точка А – 3 т.

За определяне на географската ширина на пункт В – 2 т.

За определяне на разликата в географските ширини на двата пункта – 2 т.

За определяне на разстоянието между пунктовете – 3 т.

Забележка: В случай, че не са разгледани двата случая на кулминация на Процион за пункт В да се отнемат общо 2 точки от оценката на цялото решение, но не и да се отнемат “наказателни точки” за всеки от последващите моменти от решението, които са следствие от разглеждането на двата случая.