НОА 2010, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5

• • Размери, сравними с размерите на Земята.

• • $\frac{R_B}{R} = \left(\frac{T}{T_B}\right)^2 \cdot \sqrt{\frac{L_B}{L}} \approx 0.0063$

  По формулата на Погсън $E/E_B = 2.512^{m_B-m} \approx 13900$, откъдето $R_B/R \approx 0.0063$: Процион В е около 160 пъти по-малък по диаметър от Процион, около 80 пъти по-малък от Слънцето и около 1.38 пъти по-голям от Земята – диаметър около 17 500 км, т.е. бяло джудже.

Решение:

Белите джуджета са извънредно плътни обекти, в които се превръщат звездите с не много големи маси в края на своята еволюция. Характерните размери на белите джуджета са сравними с размерите на Земята.

Отношението на осветеностите $E$ и $E_B$ , които създават звездата Процион и нейният спътник намираме по формулата на Погсън:

където $m$ и $m_B$ са зведните величини на Процион и Процион В.

Тъй като Процион и Процион В са на практически еднакво разстояние от нас, можем да смятаме, че светимостта на Процион В $L_B$ е също 13 900 пъти по-слаба от светимостта на Процион $L$ . Да означим радиусите на двете звезди съответно с $R_B$ и $R$ , а температурите – с $T_B$ и $T$ . За светимостите можем да напишем:

Оттук получаваме:

От реципрочната стойност на този резултат виждаме, че Процион В е около 160 пъти по-малък по диаметър от Процион. Звездата Процион е два пъти по-голяма по диаметър от Слънцето. Като знаем, че Земята е около 110 пъти по-малка по диаметър от Слънцето, стигаме до извода, че спътникът Процион В е сравним по размери със Земята. Така че най-вероятно този обект е бяло джудже. По-точно, Процион В е $160/2 \approx 80$ пъти по-малък от нашето Слънце, или $110/80 \approx 1.38$ пъти по-голям от Земята. Като използваме диаметъра на Земята, за диаметъра на Процион В получаваме около 17 500 км.

Тъй като температурите на Процион и Процион В са различни, то и енергията в техните спектри е разпределена различно. При нашите оценки ние използваме видимите, а не болометричните звездни величини на двете звезди. Това води до известна неточност, поради която полученият от нас размер на Процион В съвсем леко се различава от истинския.

Критерии за оценяване (10т.):

За първото подусловие – 1 т.

За пресмятане на отношението на светимостите на Процион и Процион В – 3 т.

За пресмятане на отношението на радиусите – 3 т.

За обосновката защо Процион е бяло джудже – 3 т.