Съдържание

НОА 2010, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2010

XIII Национална олимпиада по астрономия 2010, областен кръг, ученици от 11-12 клас · 6 март 2010 г. · 10 т.

Условие

В повестта на забележителния писател фантаст Айзък Азимов „Пиратите от астероидите” се разказва как главният герой Лъки Стар попада в плен на космически пирати, които го закарват на един астероид. Живеещият там отшелник му разказва, че веднъж на 3.5 години Юпитер е най-близо до астероида и се вижда като стъклено топче.

• Намерете видимия ъглов диаметър на Юпитер тогава.

• Ако наблюдаваме Юпитер от по-близко разстояние, той сигурно ще изглежда наистина великолепен. Представете си, че сте на спътника на Юпитер Амалтея с радиус на орбитата около Юпитер 181 000 km. Какъв ще бъде видимият ъглов диаметър на планетата?

Отговори

Решение

Решение:

От условието става ясно, че $T_S = 3.5$ години е периодът между две опозиции на Юпитер за наблюдател на астероида с отшелника, т.е. това е синодичният период на Юпитер за астероида. Като знаем сидеричния период на Юпитер $T = 11.86$ години, можем да намерим сидеричния период на астероида $T_A$ от съотношението:

\frac{1}{T_S} = \frac{1}{T_A} - \frac{1}{T}

T_A = \frac{T_S \cdot T}{T_S + T}

T_A \approx 2.7\ \text{yr}

Използвайки ІІІ закон на Кеплер, можем да намерим радиуса на орбитата на астероида $a_A$ . Ако $a_A$ се измерва в астрономически единици, а $T_A$ в години, то ІІІ закон на Кеплер може да се запише така:

\frac{a_A^3}{T_A^2} = 1

Оттук получаваме:

a_A = \sqrt[3]{T_A^2}

a_A \approx 1.94\ \text{AU}

Когато Юпитер е в опозиция, той се намира на разстояние от астероида:

\Delta r = a - a_A

където $a$ е радиусът на орбитата на Юпитер. Тогава видимият ъглов диаметър на Юпитер, в опозиция, гледан от астероида, е:

\delta = \frac{2R}{\Delta r} = \frac{2R}{a - a_A}

За да изразим $\delta$ в дъгови минути, умножаваме получения по горната формула резултат на $180° \cdot 60' / \pi$ и получаваме:

\delta \approx 1'

Амалтея е един от най-близките спътници на Юпитер. Виждаме, че радиусът на Юпитер е само около 2.5 пъти по-малък от радиуса на орбитата на Амалтея около Юпитер. Следователно, за да намерим видимия от Амалтея ъглов диаметър на Юпитер, ще трябва да направим по-точно изчисление. От чертежа виждаме, че видимият диаметър на Юпитер ще бъде равен на $2\alpha$ . За ъгъла a можем да напишем:

\sin \alpha = R/r

където $r$ е радиусът на орбитата на Амалтея. За видимия ъглов диаметър на Юпитер получаваме:

2\alpha \approx 46°

Това би било наистина впечатляващо – видимият диаметър на Юпитер би заемал една четвърт от разстоянието от хоризонт до хоризонт!

Чертеж: сив кръг, надписан „Юпитер“, с радиус R; от точка вдясно, надписана „Амалтея“, са прекарани двете допирателни към кръга; отсечката между центъра и Амалтея е надписана r, а всяка допирателна сключва с нея ъгъл α.

Критерии за оценяване (10т.):

За разбирането, че Юпитер е най-близо до астероида, когато е в опозиция – 1 т.

За намиране на орбиталния период на астероида – 2 т.

За намиране на разстоянието от астероида до Юпитер в опозиция – 2 т.

За намиране на видимия ъглов диаметър на Юпитер от астероида – 2 т.

За правилно геометрично представяне на видимия ъглов диаметър на Юпитер от Амалтея – 1 т.

За вярна формула и верен числен отговор – 2 т.

Справочни данни

Радиус на Земята 6370 km

Радиус на Луната 1740 km

Разстояние от Земята до Луната 384 000 km

Радиус на Юпитер 71 000 km

Разстояние от Юпитер до Слънцето 5.2 астрономически единици

Орбитален период на Юпитер 11.86 години.

Разстояние от Земята до Слънцето 150 000 000 km

Оригинал в Архива: NOA2_2010_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2010_11-12solutions.pdf