Съдържание

НОА 2010, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Геостационарен спътник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2010

XIII Национална олимпиада по астрономия, IV кръг, 11 юли 2010 г., София, теоретичен тур, ученици старша възраст (до 18 г.) · 11 юли 2010 г.

Условие

1 задача. Геостационарен спътник. През 2030 г. участници в школата за подготовка за Международната олимпиада по астрономия в Хасково ( $\varphi = 41°55'$ , $\lambda = 25°33'$ ) монтират сателитна антена, с която ще приемат лекциите на професор Йовелина Зинкова, предавани чрез геостационарен спътник. Спътникът е в посока юг. На каква височина над хоризонта трябва да е насочена антената?

Отговори

Решение

Решение:

Геостационарен се нарича спътник, който стои неподвижен спрямо земната повърхност. Това е възможно само в случай, когато орбиталният му период е точно равен на периода на околоосно въртене на Земята (Тзв = 23h56m04s), а орбитата му е разположена точно над земния екватор.

Нека първо да изчислим радиуса на орбитата на такъв спътник. Съгласно третия закон на Кеплер, ако $M_3 = 6\times10^{24}$ kg е земната маса, то:

\frac{a^3}{T^2} = \frac{\gamma M_3}{4\pi^2}

където $\gamma = 6.67 \times 10^{-11}$ м $^3$ /кг.с $^2$ е гравитационната константа.

Оттук намираме:

a = \sqrt[3]{\frac{\gamma M_3 T^2}{4\pi^2}}

a \approx 42235\ \text{km}

Височината на спътника над земната повърхност е $H = a - R \approx 35857$ km, където R е земният радиус.

Кръг, изобразяващ Земята с център O и екватор; точка A на повърхността с географска ширина φ, допирателна „хоризонт“ през A, перпендикуляр AC към ОB, точка D и спътник B вдясно на разстояние R + H от O.

На чертежа с точка В е означено положението на геостационарния спътник, а с точка А положението на град Хасково. Ъгълът АОВ е всъщност географската ширина на наблюдателния пункт $\varphi$ . Допирателната AD към земната повърхност в точка А е хоризонтът за наблюдател, разположен там. Ъгълът DAB е търсената височина на спътника над хоризонта h. Понеже спътникът се намира на крайно разстояние от Земята, което по порядък е сравнимо с нейния радиус, то наблюдател, който не е разположен на земния екватор, няма да вижда спътника на небесния екватор. В случая, участниците в школата, които се намират в северното полукълбо, ще го виждат южно от небесния екватор. Ако означим деклинацията на спътника с $\delta$ , то за търсената височина можем да запишем:

h = 90° - \varphi - \delta

Тази деклинация е равна на ъгъла ОВА на чертежа. Отсечката ОВ е равна на радиуса на орбитата на спътника. От точка А спускаме перпендикуляр към нея (АС). Пресмятаме разстоянията АС и ОС:

\text{АC} = R.\sin \varphi = 4261\ \text{km}

\text{ОC} = R.\cos \varphi = 4746\ \text{km}.

Следователно:

BC = OB - OC = R + H - OC = 37\,489\ \text{km}.

Тъй като tg OBA = AC / BC, можем да намерим ъгъла OBA:

<\text{ОВА} = \delta = 6°.4844

Това означава, че от Хасково геостационарният спътник ще се вижда на около $6°30'$ под небесния екватор. Оттук намираме:

h = 90° - \varphi - \delta \approx 41°36'.

Оригинал в Архива: NOA4_2010_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2010_STsolutions.pdf