НОА 2010, IV кръг, Старша възраст — Задача 5. Ретроградно движение

• • За вътрешните планети: колкото по-близо е планетата до Слънцето, толкова по-продължително е ретроградното движение; с приближаване към земната орбита интервалът клони към нула. За външните планети е обратното – колкото по-далеч е планетата от Слънцето, толкова по-дълъг е интервалът, а при приближаване към земната орбита той клони към нула.

  Второто и третото изречение на този подвъпрос са повторени по погрешка от задача 3 и решението не ги разглежда.

• • $t_{\max} \approx \tfrac{1}{2}\ \text{земна година}$ ≈ $0.5$ земна година

  Отпечатано в решението като „приблизително равни на половин земна година и това е максималната им възможна продължителност“.

Решение:

Сложните видими пътища, които планетите описват на фона на звездите, се обясняват с това, че те се движат около Слънцето, а ние ги наблюдаваме от движещата се около Слънцето Земя.

В определени интервали от време планетите имат ретроградното движение. За външните планети ретроградното движение се наблюдава около опозицията, а за вътрешните около долното съединение.

Вътрешните планети се движат около Слънцето с по-големи ъглови и линейни скорости, отколкото Земята. На Фиг.1 са показани последователните взаимни положения на Земята и една вътрешна планета през равни интервали от време. Условно е изобразено и видимото преместване на планетата по небето за земния наблюдател. Отначало имаме видимо движение в права посока. Когато Земята достигне до точка 1 от орбитата си, посоката на видимо движение на планетата се обръща. Проекцията на планетата на фона на звездите в този момент, условно изобразена с точка 1’, се нарича точка на стоене. Това е, защото около тази точка планетата се премества много бавно и сякаш „стои” на едно място на звездното небе. Тогава започва ретроградното движение на планетата и приключва в точка 2’, също точка на стоене, след което посоката отново се обръща и планетата възобновява правото си движение.

Фиг. 1

От значение за това явление е съотношението на големините и посоките на орбиталните скорости на планетата и Земята в различни моменти. Точките на стоене съответстват на моментите, когато планетата има относителна скорост спрямо Земята, насочена изцяло по правата Земя-планета (зрителния лъч), т.е. когато напречната на зрителния лъч компонента на тази относителна скорост е нула. Нека с $V_T$ означим скоростта на Земята по нейната орбита, а с $V_P$ – скоростта на планетата в даден момент. Относителната скорост на планетата спрямо Земята ще бъде:

На Фиг. 2 е представено взаимно положение на Земята и планетата, отговарящо на точка на стоене.

Фиг. 2

Ретроградното движение става в интервала от време, когато планетата, движейки се почти успоредно със Земята, я „изпреварва”, понеже има по-голяма скорост. Колкото по-далеч е планетата от Слънцето, толкова по-близка е нейната скорост до земната орбитална скорост и положенията, при които тя „изпреварва” Земята, ще са съсредоточени в по-малък сектор от орбитата. Следователно интервалите от време с ретроградно движение ще се съкращават, клонейки към нула с приближаване към земната орбита. Колкото планетата е по-близо до Слънцето, толкова по-продължителни ще са интервалите от време с ретроградно движение. Външните планети се движат около Слънцето с по-малки ъглови и линейни скорости, отколкото Земята. На Фиг. 3 може да се види как се получава ретроградно движение при наблюдение на външна планета. Точките на стоене също са отбелязани с 1’ и 2’.

Фиг. 3

На Фиг. 4 е показана относителната скорост на външна планета спрямо Земята, когато планетата е в точка на стоене.

Фиг. 4

Ретроградното движение в този случай става в интервала от време, когато планетата, движейки се почти успоредно със Земята, „изостава” от нея, понеже има по-малка скорост. Колкото по-близо е планетата до Слънцето, толкова по-близо е тя и до Земята, и нейната скорост е по-близка до земната орбитална скорост. Затова интервалите от време, когато тя ще „изостава” от Земята, ще са по-кратки, като ще клонят към нула с приближаване към орбитата на Земята. Колкото по-далеч е планетата от Слънцето, толкова по-дълги ще са тези интервали.

Да разгледаме планета, която е много по-далеч от Слънцето, отколкото Земята. Тогава нейната орбитална скорост ще е толкова малка, че в рамките на година или повече можем да считаме планетата почти неподвижна в една точка от нейната орбита. Тогава видимото движение на планетата на фона на звездите ще се определя главно от движението на Земята около Слънцето. Видимият път на планетата ще изглежда като малки примки, близко разположени една до друга и с ъглов размер, приблизително равен на видимия от планетата диаметър на земната орбита (Фиг. 5). Интервалите от време с ретроградно движение ще бъдат приблизително равни на половин земна година и това е максималната им възможна продължителност.

Фиг. 5