НОА 2010, IV кръг, Младша възраст, практически тур — Задача 1
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · IV кръг, 11 юли 2010 г., София, практически тур · Младша възраст · 11 юли 2010 г. · 30 т.
Условие
В приложената таблица са дадени елонгацията на Венера от Слънцето (източна – E и западна – W), видимият ъглов диаметър на планетата и видимата звездна величина.
Предполагаме, че орбитите на Земята и Венера са кръгови. Използвайки данните от таблицата, постройте орбитата на Венера и определете средната ъглова скорост и периода на планетата.
Коментирайте промените на видимата звездна величина на Венера. Могат ли те да се обяснят с промяната на разстоянието до нея?
Справочни данни:
Радиус на земната орбита – 150 000 000 km
Радиус на Венера – 6052 km
Геоцентрична ефемерида на Венера за 2002 и 2003 година
| Дата 2002 г. (за 0ʰ UT) | Елонгация от Слънцето (°) | Видим ъглов диаметър (″) | Видима звездна величина m |
|---|---|---|---|
| JAN 14 | 0.9E | 9.8 | -3.8 |
| FEB 1 | 4.4E | 9.8 | -3.8 |
| MAR 1 | 11.1E | 10.0 | -3.8 |
| APR 2 | 18.8E | 10.5 | -3.8 |
| MAY 6 | 27.2E | 11.5 | -3.8 |
| JUN 11 | 35.6E | 13.5 | -3.9 |
| JUL 21 | 43.2E | 17.7 | -4.0 |
| AUG 26 | 46.0E | 25.4 | -4.2 |
| SEP 29 | 37.9E | 41.5 | -4.5 |
| OCT 11 | 28.9E | 50.4 | -4.4 |
| OCT 21 | 17.5E | 57.7 | -4.2 |
| OCT 29 | 7.3E | 61.2 | -4.0 |
| OCT 31 | 5.8W | 61.6 | -3.9 |
| NOV 10 | 15.2W | 59.3 | -4.2 |
| NOV 18 | 25.2W | 54.0 | -4.4 |
| NOV 30 | 36.1W | 44.9 | -4.5 |
| 2003 г. | |||
| JAN 15 | 46.9W | 23.7 | -4.3 |
| MAR 28 | 36.6W | 13.7 | -3.9 |
| MAY 3 | 28.5W | 11.7 | -3.8 |
| JUN 4 | 20.5W | 10.5 | -3.8 |
| JUN 30 | 13.6W | 10.0 | -3.8 |
| JUL 22 | 7.7W | 9.7 | -3.8 |
| AUG 19 | 1.3E | 9.6 | -3.8 |
Отговори
- Виж официалното решение: средна ъглова скорост ω ≈ 1.6°/денонощие, период T ≈ 225 денонощия.
Решение
Решение: Чертаем орбитата на Земята в подходящ мащаб. Примерно 1мм от чертежа да отговаря на 2 милиона километра. Избираме началното положение на Земята, което отговаря на първото проведено наблюдение, и прекарваме през него и през положението на Слънцето, в центъра на кръга, линия от която ще отчитаме ъглите на които се отмества Земята при движението си по своята орбита. За първото наблюдение това е и направлението Земя – Слънце, от което отчитаме елонгацията на Венера в източна посока. В конкретният случай елонгацията е 0.9 градуса. Построяваме това направление. Знаем физическият диаметър на планетата – D = 2R = 12104 km. Използваме видимия ъглов диаметър на Венера – δ и от формулата:
намираме разстоянието до нея. Предварително намираме какъв е диаметърът на планетата в мащаба на схемата. Получаваме, че е 6.052×10⁻³ милиметра. Тогава резултатът от пресмятането на разстоянието ще бъде в милиметри, в мащаба на фигурата.
С полученото разстояние и взетата от таблица стойност на елонгацията нанасяме положението на Венера.
За следващата точка трябва да определим положението на Земята по нейната орбита. За 365.25 дни (приблизително) Земята изминава 360 градуса по своята орбита. Това означава, че всеки ден тя изминава по около един градус, като на всеки 70 дни е добре да изваждаме единица от броя на отминалите дни. Така получаваме с добра точност положенията на Земята по нейната орбита. От всяко положение на Земята построяваме направление към Слънцето и от него отчитаме елонгацията на Венера. Разстоянието пресмятаме от видимия ъглов диаметър на планетата. Така построяваме няколко положения на Венера по нейната орбита. Орбитата построяваме като знаем, че тя е кръгова и като имаме предвид всички нанесени положения на Венера. Първите 7-8 положения са достатъчни за да построим с добра точност орбитата.
За целия период от наблюдения, използвани в таблицата, Венера прави повече от две обиколки около Слънцето. За да получим с по-голяма точност ъгловата скорост, използваме последните наблюдения. Делим ъгъла, на който се е завъртяла Венера, на времето. Примерно, за предпоследното наблюдение в таблицата се получава ъгъл φ = 887 градуса за t = 556 денонощия. Ъгловата скорост ω = φ/t ≈ 1.6 градуса на денонощие. Следователно 360 градуса ще бъдат изминати за T = 360°/ω ≈ 225 денонощия. Това е и периодът на обикаляне на планетата около Слънцето.
Промените на видимия ъглов диаметър на Венера са обратно пропорционални на промените на разстоянието до нея. Следователно разстоянието се мени около 6.5 пъти. Това означава, че звездната величина трябва да се промени с около 4ᵐ (Δm = 5lg(rmax/rmin)). Обаче промените са около Δm = 0.7ᵐ. Това се обяснява с фазите на планетата. Колкото е по-близо до наблюдател на Земята, толкова по-тънък сърп показва Венера. Това силно намалява амплитудата на промяната на звездната величина.
Критерии за оценяване. (Обща оценка – 30т.)
- За правилно построяване на орбитата на Венера - 15т.
- За правилно определяне на ъгловата скорост на Венера – 5т.
- За правилно определяне на периода на Венера около Слънцето – 5т.
- За правилен коментар на промените в звездните величини – 5т.
Оригинал в Архива: 10-IV-praktML.doc