НОА 2011, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Екзопланета

• а $\frac{E_A}{E} = 2,512^{m-m_A} \approx 0,86$

  Около 86%.

• б $\Delta m = 2,5\lg\left(\frac{R_A^2}{R_A^2-R_J^2}\right) \approx 0,007^m$

  Радиусът на звездата е $R_A \approx 1,21 R_{Сл} \approx 840$ хил. км.

• в Със същата стойност – изменението не зависи от разстоянието

  Отношението на осветеностите зависи само от радиусите на звездата и планетата.

Решение:

а) Всички звезди от системата HD 188753 се намират на едно и също разстояние от Земята. Следователно, за да намерим каква част от светимостта на цялата система съставлява светимостта на главната й компонента, просто трябва да изчислим каква част от пълната осветеност се създава от HD 188753 A.

Означаваме с m = +7$^m$,43 общата звездна величина на трите звезди, а осветеността, която създават, с E. С $m_A$ = +7$^m$,60 и $E_A$ означаваме съответните величини за главната компонента.

От закона на Погсон следва, че:

Това означава, че светимостта на HD 188753 A е приблизително 86% от светимостта на трите звезди.

б) Означаваме разстоянието до HD 188753 с r = 150 св.г., което е равно на r = 46 пк.

Следователно абсолютната звездна величина на компонентата A е:

От тук следва, че ако означим с $L_{Сл}$ светимостта на Слънцето, то светимостта на HD 188753 A е:

Виждаме, че температурите на Слънцето и HD 188753 A са на практика равни. Следователно разликата в техните светимости се обуслява изцяло от различните им радиуси. Нека с $R_A$ да означим радиуса на звездата, а с $R_{Сл}$ – слънчевия радиус. Получаваме, че:

От тук получаваме, че:

При преминаването на планетата пред звездата нейният блясък се понижава, защото се намалява светещата площ на диска й. Всички останали величини (температура и разстояние до Земята) остават непроменени. Следователно, ако с $R_J$ означим радиуса на Юпитер, то:

където E'$_A$ е осветеността, създавана от HD 188753 A, при преминаването на планетата пред диска й.

Така получаваме, че ако Δm е търсената промяна на звездната величина, то:

От тук:

в) В предното подусловие получихме, че отношението на яркостите на звездата (от което се променя и изменението на звездната величина) зависи само от радиусите на звездата и планетата. Това означава, че независимо от разстоянието, блясъкът ще се изменя с една и съща стойност.

С други думи, частта от диска на звездата, която се закрива от планетата, е една и съща и зависи само от отношението на радиусите им. Поради това и не зависи от разстоянието до тях.

Критерии за оценяване:

а) За досещане, че звездите са на еднакво разстояние (отношението на светимостите е равно на отношението на осветеностите) – 1 т.
За правилен израз по закона Погсон и верен числен отговор – 1 т.
б) За намиране на светимостта (по някакъв верен път) – 1 т.
За правилно изразяване на радиуса и верен числен резултат – 1 т.
За правилно съставяне на отношението на осветеностите, създавани от звездата – 1,5 т.
За получаване на правилен израз за промяната на звездната величина – 1 т.
За верен числен отговор – 0,5 т.
в) За правилно съобразяване на фактора, от който зависи промяната на блясъка на звездата – 1,5 т.
За съобразяване на факта, че този фактор не зависи от разстоянието – 1 т.
За верен отговор, че изменението на звездната величина няма да се промени – 0,5 т.

(Общо за Задача 5. – 10 т.)

За верни и правилно използвани оригинални идеи или решения могат да се дадат до 2 т. допълнително към цялата задача.

Дадените от авторите на задачите решения са само примерни. Всяко друго вярно и пълно решение се оценява също с максимален брой точки.