НОА 2011, II кръг (областен), 5–6 клас — Задача 2. „Хиляди пъти”

• а) Зависи от рождената дата на решаващия; за примера в решението (роден на 17 май 1966 г.) — 16 349 дни

  $44 \cdot 365 = 16060$ дни, плюс 11 високосни дни, плюс 278 дни от 17 май 2010 г. до 19 февруари 2011 г.: $16060 + 11 + 278 = 16349$ дни.

• б) Не — за приетия пример (навършени 44 г.) пълнолунията са 555, далеч по-малко от 1000

  $16349 : 29{,}5 = 554{,}2$, т.е. 554 пълни лунни месеца, следователно поне 554 пълнолуния; тъй като Луната е била в пълнолуние на 18 февруари, преживените пълнолуния са 555. Печатното решение спира дотук и не изписва изрично отрицателния отговор на въпроса.

• в) От 0 до 3 годишно; за примера (44 навършени години) — най-много 134 лунни затъмнения

  $44 \cdot 3 = 132$, плюс най-много 2 за периода от рождения ден до 19 февруари 2011 г. Точният брой зависи от рождената дата.

• г) Най-малко 2 годишно; за примера (44 навършени години) — най-малко 89 слънчеви затъмнения

  Най-малко 2 и най-много 5 годишно: $44 \cdot 2 = 88$, плюс поне още 1 за допълнителните месеци. Точният брой зависи от рождената дата.

Решение:

а) I вариант: Ако съм родена на 17 май 1966 г., аз съм навършила 44 г.

$44$ г. $\cdot\ 365$ дни $= 16060$ дни.

За тези 44 години е имало 11 високосни години. Високосни са годините, които се делят на 4 без остатък, с изключение на „вековите” годините, които се не се делят на 400 без остатък. Следователно от 1966 г. до днес високосни са годините 1968 г., 1972 г., 1976 г., 1980 г., 1984 г, 1988 г., 1992 г., 1996 г., 2000 г., 2004 г. и 2008 г. От това следва, че към 16060 дни трябва да добавя още 11 дни. $16060 + 11 = 16071$ дни.

II вариант: $44$ г. $\cdot\ 365{,}25$ дни $= 16\,071$ дни до 17 май 2010 г.

От 17 май 2010 г. до 19 февруари 2011 г. са изминали 278 дни. (14 дни от май, 30 - от юни, 31 - от юли, 31 - от август, 30 - от септември, 31 - от октомври, 30 - от ноември, 31 - от декември, 31 - от януари, 19 дни от февруари).

Така получавам, че съм живяла $16060 + 11 + 278 = 16349$ дни;

б) Пълнолунията се повтарят на всеки 29,5 дни. $16349 : 29{,}5 = 554{,}2$. За времето, през което съм живяла, са изминали 554 пълни лунни месеца, следователно е имало поне 554 пълнолуния. А ко умножим остатъка от горното пресмятане на периода между 2 пълнулуния, получаваме $0{,}2 \cdot 29{,}5 = 5{,}9$. Следователно, ако Луната е била в пълнолуние първите 6 дни след моето раждане или последните 6 дни преди 19 февруари, то е възможно да съм преживяла и 555 пълнолуния. И тъй като Луната е била в пълнолуние вчера, на 18 февруари, то аз наистина съм преживяла 555 пълнолуния.

в) За 1 година стават от 0 до 3 лунни затъмнения, следователно за 44 цели години може да съм видяла най-много $44 \cdot 3 = 132$ затъмнения. За времето от рождения ми ден (17 май 2010 г.) до днес може да са станали още най-много 2 лунни затъмнения. Следователно максималният брой лунни затъмнения, които са се случили в моя живот са 134;

г) Всяка година стават най-малко 2 и най-много 5 слънчеви затънения. Следователно за 44 години са станали минимум $44 \cdot 2 = 88$ слънчеви затъмнения. За 10-те допълнителни месеца е възможно да е станало поне още 1 слънчево затъмнение, т.е общо 89 е минималният брой на слънчевите затъмнения в моя живот.

Критерии за оценяване:

а) За добавяне на броя на високосните години или за използване на по-точната стойност за продължителността на годината – 2 т.
За познаване продължителността на всеки месец в дни – 1 т.;
За правилно изчисление на общия брой дни – 1 т.
б) За вярно използване на периода на лунните фази (продължителността на лунния месец) – 1 т.
За правилно пресмятане броя на пълнулунията през навършения брой години – 1 т.
в) За познаване на периодичността на лунните затъмнения (от 0 до 3 годишно) – 1 т.
За правилно изчисление на максималния брой на лунните затъмнения през навършения брой години – 1 т.
г) За познаване периодичността на слънчевите затъмнения (от 2 до 5 годишно) – 1 т.
За правилно изчисление на минималния брой на слънчевите затъмнения през навършения брой години – 1 т.

(Общо за Задача 2. – 10 т.)

За верни и правилно използвани оригинални идеи или решения могат да се дадат до 2 т. допълнително към цялата задача.