НОА 2011, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 5. Пътешественици

• а) 40075.04 км

  $S_1 = 2\pi R_\text{з} = 2\pi \cdot 6378{,}140 = 40\,075{,}04$ км, т.е. приблизително 40 хиляди км.

• б) $2.5709184 \times 10^{6}$ км

  $S_2 = \upsilon_3 t = 29{,}756 \cdot 86\,400 = 2\,570\,918{,}4$ км $= 2{,}571 \cdot 10^6$ км, т.е. около 2,6 милиона км.

• в) $2.03472 \times 10^{7}$ км

  $S_3 = (2\pi R_\text{Г}/T)\,t = 2\pi \cdot 3 \cdot 300 \cdot 60 \cdot 60 = 20\,347\,200$ км $= 20{,}347 \cdot 10^6$ км, т.е. около 20 милиона км. В печатното решение произведението е набрано като „20 347 200 000 км”, но останалите две форми в същия ред и изводът след него отговарят на $20{,}347 \cdot 10^6$ км.

Решение:

а) За едно денонощие, завъртайки се около оста на Земята, изминаваме разстояние, равно на нейната обиколка $S_1$.

където $L_\text{з}$ е обиколката на Земята по екватора, а $R_\text{з}$ е екваториалният радиус на Земята.

$R_\text{з} = 6378{,}140$ км

Следователно за едно денонощие, завъртайки се около оста на Земята, изминаваме 40 075,04 км (приблизително 40 хиляди км).

б) За да пресметнем какъв път изминаваме за 1 денонощие при обиколката си около Слънцето, използваме познатата формула $S = \upsilon t$.

В нашия случай

където $S_2$ е пътят, който изминаваме заедно със Земята около Слънцето за 1 деноношие, $\upsilon_3$ е средната орбитална скорост на Земята, а $t$ е продължителността на едно денонощие.

$\upsilon_3 = 29{,}756$ км/с

Движейки се заедно със Земята около Слънцето, за едно денонощие ние изминаваме $2{,}571 \cdot 10^6$ км (което е около 2,6 милиона км)!

в) Разстоянието от Слънцето до центъра на Нашата Галактика е $R_\text{Г} = 30\,000$ св. г., следователно дължината на цялата орбита на Слънцето $S_\text{Г}$ е

Периодът, за който Слънцето изминава цялата тази дължина $S_\text{Г}$, е $T = 240\,000\,000$ г.

Нас ни интересува какъв път $S_3$ ще измине Слънцето (а заедно с него и ние) за 1 денонощие $t$.

или

За да изчислим правилно търсената величина, трябва да превърнем мерните единици на дадените величини така, че те да бъдат еднакви.

1 св. г. е разстоянието, което светлината изминава за 1 година, движейки се със скорост $c = 300\,000$ км/с. Следователно разстоянието между Слънцето и центъра на Галактиката в км е

Периодът $T$ в денонощия е $T = 240\,000\,000$ г $\cdot\ 365{,}256$ дни. $\qquad (9)$

Следователно за 1 денонощие изминаваме заедно със Слънцето около центъра на Галактиката

В резултат на тези пресмятания получаваме, че движейки се заедно със Слънцето около центъра на Галактиката, изминаваме всеки ден по $20{,}347 \cdot 10^6$ км. (около 20 милиона км.)!

Критерии за оценяване:

а) За формула (1) – 1 т.
За верен резултат (2) – 1 т.
б) За формула (3) – 1 т.
За правилно превръщане на мерните единици (4) – 1 т.
За верен резултат (5) – 1 т.
в) За формула (6) – 1 т.
За вярно буквено решение (7) – 1 т.
За правилно превръщане (8) – 1 т.
За правилно превръщане (9) – 1 т.
За верен резултат (10) – 1 т.

(Общо за Задача 5. – 10 т.)

За верни и правилно използвани оригинални идеи или решения могат да се дадат до 2 т. допълнително към цялата задача.

Дадените от авторите на задачите решения са само примерни. Всяко друго вярно и пълно решение се оценява също с максимален брой точки.