Съдържание

НОА 2011, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 4. Плътност

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2011

Национална олимпиада по астрономия 2011, областен кръг, възрастова група VII – VIII клас · 19 февруари 2011 г. · 10 т.

Условие

Земята има най-голяма плътност сред планетите от Слънчевата система (5,52 г/см³), а Сатурн – най-малка (0,69 г/см³). Диаметърът на Сатурн е 9,45 пъти по-голям от този на Земята. Ако Земята имаше плътността на Сатурн, а Сатурн – плътността на Земята, без те да променят своите маси, то щяха ли двете планети да си разменят местата в класацията по диаметър на планетите от Слънчевата система?

Отговори

Решение

Решение:

Нека означим с $\rho_\text{З}$ плътността на Земята, а с $\rho_\text{С}$ – плътността на Сатурн.

$\rho_\text{З} = \mathbf{5{,}52}$ г/см³

$\rho_\text{С} = \mathbf{0{,}69}$ г/см³

Знаем, че плътността на едно тяло се изчислява по формулата

\rho = \frac{M}{V}, \qquad (1)

където М е масата на тялото, а V е неговият обем.

\Rightarrow V = \frac{M}{\rho} \qquad (2)

От друга страна обемът на едно сферично тяло се пресмята по формулата

V = \frac{4}{3}\pi R^3 \qquad (3)

\Rightarrow R = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{-3} \qquad (4)

Заместваме обема от формула (2) във формула (4) и получаваме

R = \left(\frac{3M}{4\pi\rho}\right)^{-3} \qquad (5)

В задачате се търси как ще се измени размерът (диаметърът) на планетата при новата плътност.

Знаем, че масата на Земята не се променя.

$\Rightarrow$ От формула (5) за съотношението на радиусите на Земята в двата случая получаваме

\frac{R_\text{З2}}{R_\text{З1}} = \left(\frac{\rho_\text{З1}}{\rho_\text{З2}}\right)^{-3}, \qquad (6)

където $R_\text{З1}$ е радиусът на Земята при нейната си плътност $\rho_\text{З1} = \rho_\text{З} = 5{,}52$ г/см³, а $R_\text{З2}$ е радиусът на Земята, когато има плътност, равна на плътността на Сатурн $\rho_\text{З2} = \rho_\text{С} = 0{,}69$ г/см³.

Знаем, че диаметърът $D = 2R$

\Rightarrow \frac{D_\text{З2}}{D_\text{З1}} = \left(\frac{\rho_\text{З1}}{\rho_\text{З2}}\right)^{-3}, \qquad (7)

\frac{\rho_\text{З1}}{\rho_\text{З2}} = \frac{\rho_\text{З}}{\rho_\text{С}} = \frac{5{,}52}{0{,}69} = 8 \qquad (8)

\Rightarrow \left(\frac{\rho_\text{З}}{\rho_\text{С}}\right)^{-3} = (8)^{-3} = 2 \qquad (9)

\Rightarrow \frac{D_\text{З2}}{D_\text{З1}} = 2 \qquad (10)

Диаметърът на Земята ще се увеличи само 2 пъти, ако нейната плътност стане равна на плътността на Сатурн, без да променя масата си.

Правим аналогични пресмятания и за Сатурн. Във формула (7) заместваме със съответните величини за Сатурн.

\frac{D_\text{С2}}{D_\text{С1}} = \left(\frac{\rho_\text{С1}}{\rho_\text{С2}}\right)^{-3}, \qquad (11)

където $D_\text{С1}$ е диаметърът на Сатурн при неговата плътност $\rho_\text{С1} = \rho_\text{С} = 0{,}69$ г/см³, а $D_\text{С2}$ е диаметърът на Сатурн, когато има плътност, равна на плътността на Земята $\rho_\text{С2} = \rho_\text{З} = 5{,}52$ г/см³.

\frac{\rho_\text{С1}}{\rho_\text{С2}} = \frac{\rho_\text{С}}{\rho_\text{З}} = \frac{0{,}69}{5{,}52} = \frac{1}{8} \qquad (12)

\Rightarrow \frac{D_\text{С2}}{D_\text{С1}} = \frac{1}{2} \qquad (13)

Следователно диаметърът на Сатурн ще намалее само 2 пъти.

В резултат на това можем да намерим съотношението между диаметрите на двете планети при новите им плътности:

\frac{D_\text{С2}}{D_\text{З2}} = \frac{D_\text{С1}/2}{2D_\text{З1}} = \frac{D_\text{С1}/D_\text{З1}}{4}, \qquad (14)

т.е. сегашното съотношение на диаметрите на Сатурн и Земята ще се намалее 4 пъти.

Знаем, че

\frac{D_\text{С1}}{D_\text{З1}} = 9{,}45

\Rightarrow \frac{D_\text{С2}}{D_\text{З2}} = \frac{9{,}45}{4} = 2{,}36 \qquad (15)

Виждаме, че отново Сатурн ще има по-голям диаметър от Земята, следователно двете планети няма да си разменят местата в класацията на планетите по диаметър.

Критерии за оценяване:

За формула (1) – 1 т.
За формула (3) – 1 т.
За формула (5) – 1 т.
За вярно буквено решение (7) – 1 т.
За верен отговот (10) – 1 т.
За вярно буквено решение (11) – 1 т.
За верен отговот (13) – 1 т.
За формула (14) – 1 т.
За верен отговот (15) – 1 т.
За верен извод – 1 т.

(Общо за Задача 4. – 10 т.)

За верни и правилно използвани оригинални идеи или решения могат да се дадат до 2 т. допълнително към цялата задача.

Оригинал в Архива: NOA2_2011_7-8problems.pdf · официални решения: NOA2_2011_7-8solutions.pdf