НОА 2011, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 2. Земята и Луната от Космоса

• а) 2.4

• б) $1.1 \times 10^{6}$ км

  ≈ 1,1 млн. км

• в) близо до фаза последна четвърт

• г) Схема: мястото на наблюдение е на около 3 пъти по-голямо разстояние от Земята отколкото Луната; посоката Земя–Луна е перпендикулярна на посоката Земя–Слънце.

а) Измерваме с линийка диаметрите на Луната и Земята от даденото ни изображение. Получените стойности са следните:

$d_\mathrm{Л} = 39\ \mathrm{mm}$
$d_\mathrm{З} = 93\ \mathrm{mm}$.

Понеже и Луната, и Земята са снимани по един и същи начин, то отношението на размерите на двете тела на снимката всъщност е равно на отношението на техните видими размери ($\delta_\mathrm{З}$ и $\delta_\mathrm{Л}$) от мястото на наблюдение.
Следователно:

Това означава, че от мястото на наблюдението Земята има около 2,4 пъти по-голям видим размер от този на Луната.

б) Нека да означим разстоянието Земя–Луна с $r_\mathrm{З-Л}$, а търсеното разстояние от Земята до мястото на наблюдение с X. С $D_\mathrm{Л}$ и $D_\mathrm{З}$ означаваме реалните диаметри на Луната и Земята. На снимката ясно се вижда, че Луната е между Земята и мястото, от което е снимано. Следователно разстоянието до Луната е $r = X - r_\mathrm{З-Л}$.
За видимите размери на двете тела можем да запишем:

От тук следва, че:

За отношението на видимите размери използваме полученото съотношение от предното подусловие. Решавайки уравнението относно X, получаваме:

в) От снимката виждаме, че от мястото, от което е направена тя, Луната и Земята се виждат точно наполовина осветени от Слънцето. Следователно, отсечката, свързваща мястото на наблюдение с Луната и Земята, сключва прав ъгъл с направлението Земя-Слънце. Това означава, че гледана от Луната, планетата ни също би трябвало да се вижда осветена наполовина, т.е. Земята трябва да е във фаза първа или последна четвърт. От тук следва, че Луната също трябва да е в някоя от тези две фази. Предвид това, къде е посоката север, и това, че на снимката виждаме осветена дясната част на Луната, можем да заключим, че от северното полукълбо на Земята ще виждаме осветена лявата част на нашия спътник. Следователно Луната е близо до фаза последна четвърт.

г) Полученото разстояние X е около 3 пъти по-голямо от разстоянието Земя–Луна. Затова спазвайки мащаба на схемата, трябва да поставим мястото на наблюдение на три пъти по-голямо разстояние от Земята, отколкото е Луната.
Както казахме в предното подусловие, направленията Земя–Луна (по което се намира и точката на наблюдение) и Земя–Слънце са перпендикулярни. Следователно лъчите на Слънцето идват под прав ъгъл спрямо отсечката между нашата планета и спътника ни.
Схематично ситуацията, гледана от северния небесен полюс, може да бъде представена така:

Критерии за оценяване:
а) За разбиране на факта, че отношението на размерите на изображенията от снимката е равно на отношението на видимите размери – 1 т.
За правдоподобно измерване (в зависимост от използвания принтер), ученикът може да получи други стойности за двата диаметъра, но отношението им би трябвало да не се изменя) – 0,5 т.
За правилен числен отговор – 0,5 т.
б) За правилно изразяване на разстоянието до Луната – 0,5 т.
За изразяване на двата видими диаметъра – 1,5 т.
За правилен израз за разстоянието до Земята – 1,5 т.
За верен числен отговор – 0,5 т.
в) За съобразяване на фазовия ъгъл на Земята и Луната (къде е върхът на правия ъгъл) -1,5 т.
За съобразяване, че фазата е някоя от двете четвърти – 1 т.
За съобразяване, че е последна четвърт – 0,5 т.
г) За спазване на мащабите на разстоянията – 1 т.
За спазване на направлението към Слънцето – 1 т.
За спазване на точното местоположение на Луната предвид фазата й – 1 т.
(Общо за Задача 2. – 12 т.)
За верни и правилно използвани оригинални идеи или решения могат да се дадат до 2 т. допълнително към цялата задача.