НОА 2011, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Сянка

• а) +23,5° около 21 юни; -23,5° около 21 декември

• б) h_MAX = 71,5°; h_MIN = 24,5°

• в) h_max = 90° (два дни в годината, когато Слънцето преминава през зенита); h_MIN = 90° - φ - ε = 54,5° в деня на зимното слънцестоене

• г) 33 м

  L = H · cotg h_MIN ≈ 33 м

а) Максималната деклинация на Слънцето е равна на наклона на еклиптиката към небесния екватор или 23°,5. Такава стойност тя има в деня на лятното слънцестоене, около 21 юни.
Най-малката стойност на слънчевата деклинация е равна на взетия със знак минус наклон на еклиптиката или -23°,5. Слънцето е с такава деклинация при зимно слънцестоене, или около 21 декември.

б) Означаваме наклона на еклиптиката към небесния екватор с ε. Както казахме, при лятно слънцестоене Слънцето има деклинация +ε, а при зимно -ε. Максималната и минималната височина на Слънцето в горна кулминация се наблюдават именно в тези дни в Пловдив. Този град се намира извън тропичните области и Слънцето кулминира винаги на юг от зенита. Следователно търсените височини са съответно:

h_MAX = 90° - φ + ε = 71°,5

h_MIN = 90° - φ - ε = 24°,5.

в) Уагадугу има географска ширина 12° и поради това попада в тропичните области на Земята. Това са областите, където Слънцето може да премине през зенита в определени моменти от време. Това става, когато деклинацията му е равна на географската ширина на мястото. Следователно максималната височина на Слънцето в горна кулминация там е 90°. Такива дни през годината са два – един преди и един след лятното слънцестоене.
Минималната височина на Слънцето по пладне се наблюдава в деня на зимното слънцестоене, защото Уагадугу е в северното полукълбо. Тогава то кулминира на юг от зенита на височина:

h_MIN = 90° - φ - ε = 54°,5.

г) За да не пречи сградата на работата на часовника, тя трябва да бъде на такова разстояние, че сянката ѝ да не може да попадне върху него. Сградата е разположена южно от часовника, поради това би могла да попречи, когато Слънцето е на юг, или около горната му кулминация. Сянката на сградата по пладне е най-дълга, когато Слънцето в този момент е най-ниско над хоризонта. Това е денят на зимното слънцестоене, когато максималната му височина е h_MIN = 24°,5.
От схемата се вижда, че ако височината на Слънцето над хоризонта е h, то дължината на сянката на сградата (с височина H=15 м) е:

L = H · cotg h_MIN.

Замествайки дадената ни височина на сградата и получената стойност за минималната пладнена височина на Слънцето в Пловдив, получаваме, че L_MIN ≈ 33м.
Следователно, за да не пречи на слънчевия часовник, сградата трябва да е поне на 33 метра от него.

Критерии за оценяване:
а) За правилен отговор, кога деклинацията на Слънцето е максимална и минимална – 1 т.
За правилен отговор, колко е в тези два дни стойността й – 1 т.
б) За правилна формула (използвана наготово или изведена) за максималната височина на Слънцето – 1 т.
За верни числени резултати – 1 т. (по 0,5 т. за всеки)
в) За съобразяване, колко е максималната пладнена височина – 1 т.
За съобразяване, кога ще се наблюдава минималната стойност – 0,5 т.
За вярна формула и числена стойност – 0,5 т.
За верен отговор, кога ще се наблюдава минимална височина по пладне – 1 т.
г) За правилно геометрично представяне на сянката – 1 т.
За правилна тригонометрична формула – 1 т.
За съобразяване, кога сянката е най-дълга – 0,5 т.
За верен числен резултат – 0,5 т.
(Общо за Задача 3. – 10 т.)
За верни и правилно използвани оригинални идеи или решения могат да се дадат до 2 т. допълнително към цялата задача.