НОА 2011, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Астроном отшелник

• • $87.19^\circ,\ 174.38^\circ,\ 261.57^\circ,\ 348.76^\circ$

  Отклоненията са кратни на $0.24219\times360^\circ\approx87.19^\circ$. Четвъртият изгрев може да се опише и като $360^\circ-348.76^\circ=11.24^\circ$ надясно (по часовниковата стрелка) от основната линия. Допустимо отклонение около $0.05^\circ$.

• • Фаза, близка до новолуние – малко преди или малко след новолуние (или новолуние).

  Луната трябва да слезе на около $0.95^\circ$ южно от небесния екватор (ъгловият радиус на Земята, гледан от Луната), за да изгрее за наблюдател на Южния полюс.

Решение (12 т.):

При нас Слънцето изгрява и залязва поради видимото си денонощно движение по небето, дължащо се на въртенето на Земята около нейната ос. На полюсите изгревът на Слънцето става поради видимото му годишно движение по еклиптиката. На южния полюс това се случва, когато Слънцето пресича небесния екватор от северната към южната небесна полусфера, т.е. при преминаването му през есенната равноденствена точка около 23 септември. Следващият изгрев се случва при следващото преминаване на Слънцето през тази точка, или точно след една тропична година. В тропичната година има 365.24219 слънчеви денонощия. Една тропична година след първия изгрев на Слънцето Земята ще се е направила 365 пълни завъртания около оста си по отношение на посоката към Слънцето и още 0.24219 части от пълното завъртане, или $0.24219\times360^\circ\approx87.19^\circ$. Гледано от южното полукълбо, Земята се върти около оста си по часовниковата стрелка. Затова там видимото денонощно въртене на Слънцето е обратно на часовниковата стрелка. Оттук заключаваме, че при втория си изгрев Слънцето ще пресече хоризонта на $87.19^\circ$ обратно на часовниковата стрелка, или наляво от основната линия от сградата към телескопа. При следващите три изгрева то ще се появи съответно на $87.19\times2=174.38^\circ$, $87.19\times3=261.57^\circ$ и $87.19\times4=348.76^\circ$ обратно на часовниковата стрелка от основната линия. Бихме могли да кажем, че накрая, при петия си изгрев Слънцето ще бъде само на $360^\circ-348.76^\circ=11.24^\circ$ надясно, или по часовниковата стрелка от основната линия.

На полюса изгревът на Луната става поради орбиталното ѝ движение около Земята. Луната може да изгрее едновременно със Слънцето, например, при слънчево затъмнение. Тогава нейната фаза е близка до новолуние. Но лунната орбита има лек наклон към еклиптиката. Затова може да се случи Луната да пресече небесния екватор заедно със Слънцето, когато фазата ѝ е малко преди или малко след новолуние. Най-голямо отклонение на фазата от новолунието може да има, когато Луната е в някоя от точките по лунната орбита, които са най-отдалечени от еклиптиката. Обаче, за разлика от Слънцето, не е достатъчно Луната да пресече небесният екватор за да изгрее за някой от полюсите. Впрочем Слънцето също не изгрява там, намирайки се точно на небесния екватор. В случая то трябва да е на $8.76''$ южно от екватора, колкото е видимият ъглов размер на земния радиус, гледан от Слънцето. Разбира се, без да отчитаме рефракцията. Земният радиус, гледан от Луната, се вижда под ъгъл $0.95^\circ$. Следователно Луната трябва да слезе южно от небесния екватор на този ъгъл, за да изгрее за наблюдател на Южния полюс. Фазата може да е малко преди или малко след новолуние, или новолуние, в зависимост от това, колко се отклонява орбитата на Луната от еклиптиката в този участък и в каква посока е Луната относно Слънцето.

Критерии за оценяване:
За разбиране на начина, по който става слънчевия изгрев на полюса – 2 т.
За правилна логическа постановка на изчисленията чрез тропичната година – 2 т.
За правилни пресмятания и верни числени резултати – 2 т.
За вярно съобразяване на посоката на изместване на изгревите – 1 т.
За посочване на слънчевото затъмнение и фаза близка до новолуние по въпроса за лунния изгрев – 2 т.
За обяснение на ефекта от наклона на лунната орбита – 2 т.
За обяснение на ефекта от близоста на Луната и размерите на Земята – 1т.