НОА 2011, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Пасаж на Юпитер

• • Плоско дъно с дълбочина $\Delta m \approx 0.057^m$ и симетрични наклонени участъци при I–II и III–IV контакт.

• • $t_{12}=t_{34}=\delta_j/\omega' \approx 3.7\ \text{часа},\qquad t_{23}=(\delta-2\delta_j)/\omega' \approx 8.9\ \text{часа}$

  При $v_a\approx4.21$ км/сек, $\omega'\approx0.205'/\mathrm{час}$, $\delta\approx3.34'$ и $\delta_j\approx0.76'$. Допустимо отклонение около 0.2 часа.

• • $\Delta m = 2.5\lg\frac{\delta^{2}}{\delta^{2}-\delta_j^{2}} \approx 0.057^m$

Решение:

За да направим исканите в задачата пресмятания, първо трябва да определим скоростта на нашия кораб в афелия на орбитата му. Означаваме разстоянията му до Слънцето в перихелий и афелий съответно с $r_p$ и $r_a$. Тези разстояния всъщност са равни на радиусите на земната орбита и на орбитата на Сатурн около Слънцето. Означаваме с $M$ масата на Слънцето и с $\gamma$ гравитационната константа. Използваме закона за запазване на енергията и II закон на Кеплер:

След известни преобразувания получаваме:

Продължителността на пасажа ще определим, като преминем в координатна система, неподвижно свързана с нашия кораб. В тази система Слънцето се движи относно нас със корост $-v_a$, а Юпитер със скорост $v_j-v_a$, където $v_j=\sqrt{\gamma M/r_j}$ е скоростта, с която Юпитер се движи по своята орбита с радиус $r_j$. Ъгловата скорост, с която става видимото преместване на Слънцето по небето за нас е $\omega=-v_a/r_a$, ъгловата скорост на Юпитер е $\omega_j=\left(v_j-v_a\right)/\left(r_a-r_j\right)$. Тук приемаме, че ъгловата скорост на Юпитер не се променя по време на пасажа, което, предвид малките ъглови размери на Слънцето, е допустимо приближение. Видимата ъглова скорост, с която Юпитер с движи на фона на слънчевия диск, е:

Трябва да пресметнем и видимите от нашия кораб ъглови диаметри на Слънцето и на Юпитер. Те са съответно:

където $R$ е линейният радиус на Слънцето,

където $R_j$ е линейният радиус на Юпитер,

Оттук за интервалите между I и II контакт, II и III контакт и III и IV контакт получаваме:

Означаваме с $E_0$ осветеността, която създава Слънцето, без Юпитер да се проектира на фона на неговия видим диск, а с $E$ – осветеността, която то създава по време на пасажа. Отношението на двете осветености ще е равно на отношението на площта на видимия слънчев диск без да го закрива планетата и светещата част от площта му, когато върху него е проектирана планетата:

Изменението на звездната величина на Слънцето по време на пасажа ще бъде:

Накрая можем да представим всичко това схематично на една графика:

Критерии за оценяване:
За теоретичен начин за определяне на скоростта на кораба в афелий – 3 т.
За верен числен отговор – 1 т.
За правилни разсъждения относно определянето на относителната ъглова скорост на движение на Юпитер по диска на Слънцето – 4 т.
За пресмятане на продължителностите на интервалите между характерните моменти на пасажа – 2 т.
За правилна математическа постановка на решението за изменението на звездната величина на Слънцето – 3 т.
За верен числен отговор – 1 т.
За скициране на графиката – 2 т.