НОА 2011, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Шега на «боговете»

• • В перихелий: Земята се оказва на афелийно разстояние с перихелийна скорост и минава на по-външна орбита, допираща се до старата в тази точка – с по-голяма голяма полуос и по-дълъг период. В афелий: обратното – по-вътрешна орбита с по-малка голяма полуос и по-къс период.
• • Да – двете точки, в които малката ос допира орбитата. Формата и размерите не се променят, но перихелият и афелият си разменят местата, а годината, в която е станала смяната, е по-къса (съответно по-дълга).

Решение (12 т.):

Тъй като земната орбита е много близка до кръговата, двата фокуса на елипсата са близо един до друг. Същественото в случая е, че когато Земята е в перихелий, тя е най-близо до този фокус на елиптичната орбита, в който се намира Слънцето. Тогава, освен че Земята е най-близо до Слънцето, там орбиталната ѝ скорост е максимална. Скоростта в перихелий е по-голяма от кръговата скорост за това разстояние от Слънцето. Обратно, скоростта на Земята в афелия на орбитата ѝ е минимална. Скоростта там е по-малка както от кръговата скорост за афелийното разстояние, така и от перихелийната скорост. Ако в момента в който Земята преминава през перихелия на орбитата си, Слънцето “прескочи” в другия фокус, изведнъж ще се окаже, че Земята е на афелийно разстояние от Слънцето, но с перихелийна скорост. Това означава, че тя ще започне да се движи около Слънцето по по-външна орбита, която ще включва в себе си предишната орбита, като ще се докосва до нея само в една точка – тази точка, в която се е намирала в момента на смяната, т.е. в перихелия на старата орбита. Голямата полуос на орбитата ще е по голяма и следователно и периодът на обикаляне ще е по-дълъг.

Ако в момента на преместването на Слънцето Земята се намира в афелия на своята орбита, тя изведнъж ще се окаже на перихелийно разстояние от него, но с афелийна скорост. Афелийната скорост е по-малка от перихелийната и Земята ще започне да се движи по орбита по-близка до Слънцето, която ще се докосва до предишната орбита в точката в която е станала смяната, т.е. в афелия на старата орбита. Голямата полуос на орбитата и периодът на обикаляне около Слънцето ще са по-малки.

Има две точки по орбитата на Замята, обаче, в които тя се движи с еднаква скорост, но в противоположни посоки. Тези точки се намират там където малката ос допира орбитата и я разделя на две еднакви части, полуелипси, в едната от които се намира перихелият на орбитата, а в другата – афелият на орбитата. Въпреки, че по дължина и форма двете части на орбитата са еднакви, те се изминават за различно време. Половината орбита, съдържаща перихелия, се изминава за по-кратко време отколкото другата половина, която съдържа афелия. Ако в момента на смяната Земята се намира в една от двете точки, то прескачането на Слънцето от единият фокус в другия няма да промени размерите и формата на орбитата. Обаче ще настъпи друга интересна промяна в движението на Земята. Нека тя е преминала перихелия и е на средата на пътя към афелия на орбитата си. Прескачането на Слънцето ще доведе до това, че перихелият и афелият ще си разменят местата. На Земята, която ще продължи движението си по орбитата, ще ѝ се наложи отново да премине през тази половина от орбитата, която съдържа перихелия. Заедно с всички последствия от това – отново по-бързо движение и повече топлина от Слънцето. След това всичко ще продължи както и преди смяната. Само, че през лятото, в началото на юли, вместо да преминава през афелия Земята ще преминава през перихелия на орбитата си и обратно – през зимата, в началото на януари, вместо да преминава през перихелия Земята ще преминава през афелия на орбитата си. А годината, в която се е случила смяната, ще бъде по-къса от другите години. Разликата в продължителността на годините ще е равна на разликата във времената, за които Земята изминава двете, еднакви по големина и форма, но различни по средна скорост, половини на земната орбита.

Ако смяната стане, когато на Земята ѝ предстои да навлезе в половината на орбитата съдържаща перихелия, ще се случи обратното – ще се повтори преминаването през афелия на орбитата и ще преживеем най-дългата, затова пък малко по-студена, година. Всички останало е аналогично на предишния случай.

Критерии за оценяване:
За правилни разсъждения за новата орбита, когато Земята е в перихелий – 3т.
За правилни разсъждения за новата орбита, когато Земята е в афелий – 3т.
За обяснение на случая, в който формата и размерът на земната орбита не се променят, както и смяната на перихелия и афелия – 4т.
За правилни разсъждения относно следствията от смяната – 2т.