НОА 2011, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Кратерът Коперник

• $h = s\cdot\tan\gamma \approx 2.9\ \text{км}$

  При измервания $D_1=224$ мм, $r=108$ мм, $a=18.5$ мм, $b=30.5$ мм и $s=12$ мм върху увеличеното изображение: мащаб $3476/224\approx15.52$ км/мм, $\alpha\approx80.14^\circ$, $\beta\approx73.60^\circ$, $\gamma=6.54^\circ$, $s\approx25.6$ км.

Решение:

Височината на кръглия вал на кратера може да определим, като измерим ширината на сянката, която той хвърля на дъното на кратера, и пресметнем ъгъла на падане на слънчевите лъчи.

На голямата снимка на Луната съединяваме върховете на лунния сърп с права линия и получаваме лунен диаметър. Измерваме дължината му и получаваме $D_1=224$ мм. Линейният диаметър на Луната е $D=2\times1738=3476$ км. Следователно мащабът на снимката е 3476 / 224 $\approx$ 15.52 км на милиметър. Начертаваме през средата на кратера Коперник права линия, перпендикулярна на построения от нас диаметър. Измерваме дължината на отсечката до границата на лунния диск. Получаваме $r=108$ мм. По същата линия измерваме разстоянието $a$ от диаметъра на лунния диск до терминатора и разстоянието $b$ от диаметъра до вала на кратера, хвърлящ широката сянка. Получаваме $a=18.5$ мм, $b=30.5$ мм.

Както се вижда от схемата по-долу вляво, тези разстояния ни помагат да определим ъглите $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. На схемата с k е означено мястото на лунния кратер, или по-точно, на частта от вала на кратера, чиято височина искаме да узнаем. Последователно можем да пресметнем:

И накрая:

Схемата вдясно показва, че слънчевите лъчи падат по допирателни към лунната повърхност, там където е терминаторът. Равнината на хоризонта за мястото на кратера също е допирателна към лунната повърхност. Така се убеждаваме, че ъгълът $\gamma$ всъщност е равен на ъгъла, под който слънчевите лъчи падат към лунната повърхност около въпросния кратер, като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене.

Вече ни остава само да определим ширината на сянката, която хвърля валът на кратера върху неговото дъно. За целта използваме увеличеното изображение. Измерваме ширината на сянката – тя е $s=12$ мм. Нека не забравяме, обаче, че участъкът от лунната повърхност, където е кратерът Коперник, не е перпендикулярен на лъча на зрение от нас към Луната. Той е под наклон към тази плоскост $90^\circ-\beta=16.4^\circ$. Затова ние всъщност измерваме проекцията на сянката на вала. Истинската дължина на сянката ще бъде $s_1=s\big/\cos16.4^\circ\approx12.5$ мм. Обаче, ако си представим вала на кратера като вертикална стена, ще се накланя и тя, като ще виждаме в проекция засенчената ѝ страна. Това ще увеличава дължината на наблюдаваната сянка. Тъй като наклонът е малък, промяната на видимата дължина от двата ефекта е малък, като при това те действат в противоположни посоки. Това ни води до заключението, че може и да не отчитаме общата промяна, тъй като тя е в рамките на грешката, която допускаме при измерванията.

Сега трябва да преминем към мащаба на голямата снимка. Сравняваме диаметъра в милиметри на кратера Коперник, измерен на увеличеното изображение – 40 мм, и диаметъра на същия кратер върху голямата снимка – 5.5 мм. Следователно, дължината на сянката върху голямата снимка трябва да бъде: $s_2=s_1\cdot\frac{5.5}{40}\approx1.65$ мм. Можем вече да превърнем тази величина в километри на лунната повърхност. Използваме получения в началото на решението мащаб и намираме:

На схемата вляво $h$ е височината на вала, която търсим. Очевидно:

Критерии за оценяване:
За правилни съображения относно идеята за решение – 2 т.
За правилна геометрична постановка, извеждане на формулите и обяснение чрез схеми при определяне на ъгъла на падане на слънчевите лъчи към лунната повърхност в областта на кратера – 4 т.
За определяне на височината на вала чрез този ъгъл – 2 т.
За внимателни измервания и построения по снимките – 3 т.
За правилна работа с мащабите при преминаването от едното изображение вкъм другото и към километри върху лунната повърхност – 3 т.
За правилен числен резултат – 1 т.