НОА 2011, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Празник на Слънцето

Решение (12 т.):

Прекрасната планета се върти около своята ос и затова нейното Слънце извършва видимо денонощно движение по небето. Нека с $P$ и $P'$ отбележим северния и южния небесни полюси (Фиг. 1). В Деня на високото Слънце – най-веселия празник в Стъкления град – видимото движение на Слънцето става по паралел, минаващ през зенита $Z$ и хоризонта. Понеже този паралел има за ос правата $PP'$, то височината $h$ на северния небесен полюс над хоризонта и зенитното му отстояние $ZP$ са равни. Следователно северният небесен полюс $P$ има височина над хоризонта $h = 90°/2 = 45°$. Това означава, че Стъкленият град трябва да е на географска ширина $\varphi = h = 45°$, ако върху Прекрасната планета въведем същите координати, както на Земята.

Щом Денят на високото Слънце се отбелязва като празник, значи през другите дни на годината по пладне Слънцето не се издига толкова високо. Денят на високото Слънце очевидно съответства на датата на лятно слънцестоене за полукълбото на Прекрасната планета, където се намира Стъкленият град. В точката на лятно слънцестоене Слънцето се намира най-далеч от небесния екватор – на $45°$, както се вижда от чертежа. Това е и наклонът на екваториалната равнина за Прекрасната планета към нейната еклиптика (или нейната орбитална равнина).

Половин година по-късно Слънцето ще бъде в противоположната точка от еклиптиката – точката на зимно слънцестоене (Фиг. 2). Тогава то също ще е максимално далеч от небесния екватор, но в другата небесна полусфера за Прекрасната планета. Както показва чережът, на този ден Слънцето ще се покаже само на половина над хоризонта за много кратко време около пладне и пак ще се скрие под хоризонта. На тази дата за жителите на Стъкления град ще бъде най-дългата нощ, траеща почти цяло денонощие.

Критерии за оценяване:

За правилна обща представа за видимото денонощно движение на Слънцето по небето в Деня на високото Слънце – 2 т.

За определяне на географската ширина на Стъкления град – 2 т.

За обща идея, че описаното движение на Слънцето по небето може да се дължи на различен наклон на оста на Прекрасната планета (не като този на земната ос) – 2 т.

За правилно определяне на наклона на оста (или на наклона на екваториалната към еклиптичната равнина) на Прекрасната планета – 2 т.

За определяне на положението на Слънцето относно небесния екватор половин година по-късно – 2 т.

За описание на видимото денонощно движение на Слънцето тогава – 2 т.