Съдържание

НОА 2011, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Обитаема зона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2011

Национална олимпиада по астрономия 2011, национален кръг, възрастова група IX – X клас · 26 март 2011 г. · 16 т.

Условие

От гледна точка на съществуването на живота, мястото на Земята в Слънчевата система не е случайно. Тя се намира в т.нар. зона благоприятна за живот, или обитаема зона около Слънцето. Да приемем, че средният радиус на обитаемата зона около една звезда е равен на разстоянието, на което звездата създава същата осветеност, каквато създава Слънцето на Земята.

В таблицата са дадени данни за три звезди. С $L/L_o$ е означено отношението на светимостта на звездата към светимостта на Слънцето, а с $M/M_o$ – отношението на масата на звездата към масата на Слънцето.

Звезда	$M/M_o$	$L/L_o$	Спектрален клас
A	0.10	0.0008	M8
B	0.47	0.063	M0
C	1	1	G2

• Пресметнете средните радиуси на обитаемите зони около тези звезди в астрономически единици.

• Планетите около други звезди много трудно се наблюдават пряко и методите за откриването им са косвени. При спектралния метод се наблюдава изместването на линиите в спектъра на звездата, породено от това, че звездата се движи с определена скорост около центъра на масите на системата звезда-планета.

Определете за коя от трите звезди би било най-лесно да се открие планета в обитаемата зона чрез спектрални изследвания. Считайте, че планетата се движи по кръгова орбита и масата ѝ е равна на масата на Земята.

Отговори

Решение

Решение (16 т.):

Нека с $r_0$ и $r$ означим разстоянията от Слънцето до Земята и от дадена звезда до нейна планета, а с $E_0$ и $E$ – съответно осветеността, която Слънцето създава на Земята и осветеността, която звездата създава на планетата. В сила са съотношенията:

E_0 = \frac{L_0}{4\pi r_0^{\,2}} \qquad\qquad E = \frac{L}{4\pi r^{2}}

Ако планетата е на разстояние от звездата, равно на средния радиус на нейната обитаема зона, то $E = E_0$ . Оттук следва:

\frac{L}{L_0} = \frac{r^{2}}{r_0^{\,2}}, \quad \text{откъдето получаваме} \quad r = r_0\sqrt{\frac{L}{L_0}}

Чрез последна формула лесно можем да пресметнем радиусите на обитаемите зони около звездите A, B и C. Те са:

r_A = 0.0283\ \text{AU}, \qquad r_B = 0.251\ \text{AU}, \qquad r_C = 1\ \text{AU}

Най-лесно ще може да бъде открита планета в обитаемата зона на онази звезда, която би имала най-голяма линейна скорост на движение около общия си център на масите със своята планета. Скоростта, с която планетата се движи в обитаемата зона около звездата C, трябва да е равна на скоростта, с която Земята се движи около Слънцето, или:

V_C = \frac{2\pi r_C}{T_C},

където $T_C = 1$ година. Така получаваме $V_C \approx 30$ км/сек. За да намерим орбиталните периоди на планетите около другите звезди, изпозваме III закон на Кеплер:

r^{3}\big/T^{2} = M

В този вид законът може да се запише, в случай че радиусът на орбитата на планетата $r$ се измерва в астрономически единици, периодът $T$ в години, а масата на звездата $M$ – в слънчеви маси. За периодите получаваме:

T_A \approx 0.0151\ \text{год.} \qquad T_B \approx 0.183\ \text{год.}

Като знаем и радиусите на орбитите, намираме орбиталните скорости на планетите:

V_A \approx 56.4\ \text{км/сек} \qquad V_B \approx 41.1\ \text{км/сек}

Схема: голяма пунктирана окръжност – орбитата на планетата, и малка пунктирана окръжност около общия център на масите C – орбитата на звездата. Планетата е отляво, звездата е вдясно до C. Вектор V сочи надолу от планетата, вектор V* сочи нагоре от звездата.

Центърът на масите C на система от две тела дели правата, която ги свързва, в съотношение, обратно на отношението на масите им. Както се вижда от схемата, планетата и звездата се движат по свои орбити около центъра на масите, а скоростите им са в същото съотношение, както и разстоянията им до центъра на масите. Следователно, ако $M$ и $M_p$ са масите на планетата и звездатата, то $V^*\big/V = M_p\big/M$ .

Оттук, като знаем масите на звездите в слънчеви маси и отношението на масата на Земята към масата на Слънцето, лесно намираме за скоростите на звездите около центровете на масите със съответните им планети:

V^*_A \approx 169\ \text{см/сек} \qquad V^*_B \approx 26\ \text{см/сек} \qquad V^*_C \approx 9\ \text{см/сек}

Оказва се, както можеше и да се очаква, че най-голяма скорост има звездата A, която е с най-малка маса и с най-малък радиус на обитаемата зона. Поради това и гравитационното въздействие на планетата върху тази звезда е най-силно. Планета около такава звезда може най-лесно да бъде открита чрез спектрални наблюдния.

Критерии за оценяване:

За правилен начин на опрделяне на радиуса на обитаемата зона – 2 т.
За верни числени отговори – 2 т.
За правилен метод за пресмятане на скоростите на звездите около центровете на масите на идейно равнище - 2 т.
За правилно използване на закономерностите и извод на формулите – 5 т.
За верни числени отговори – 3 т.
За правилен извод накрая – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2011_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2011_9-10solutions.pdf