Съдържание

НОА 2011, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Космически проект

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2011

XIV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · IV кръг · Теоретичен тур · Старша възраст · 12 т.

Условие

Както е известно, поради елиптичната форма на марсианската орбита, Марс в противостояние може да е на значително различаващи се разстояния до Земята. Веднъж на около 17 години се случва т.нар. велико противостояние, когато има максимално сближаване на Земята и Марс.

През 2030 г. космическите инженери Ивайло и Михаела работят по проект с фантастични мащаби за преустройство на Слънчевата система. В резултат Марс е заставен да се движи по съвсем нова кръгова орбита около Слънцето. При това той се сближава максимално със Земята веднъж на 17 години.

• Какъв би трябвало да е орбиталният период на Марс тогава? Считайте, че Земята също се движи около Слънцето по кръгова орбита.

• На какво разстояние ще се намира Марс от Земята при максимално сближаване?

• Каква ще е видимата звездна величина на Марс при максимално сближаване със Земята? Понастоящем видимата звездна величина на Марс при средно противостояние е –1,65ᵐ. Средното разстояние на Марс от Слънцето е 1.524 астрономически единици.

Решение

Понеже Марс е веднъж на всеки 17 години най-близо до Земята, то това е неговият синодичен период TSYN относно нашата планета. Имайки само тази информация обаче, ние всъщност имаме две възможности: Марс да е бил оставен като външна планета, или да е бил заставен да стане вътрешна. Ако предположим, че Марс остава външна планета дори след намесата на двамата инженери, то можем да запишем следното равенство за синодичния му период:

1/T_{SYN}=1/T_{\text{З}}-1/T_M,

където ТM е търсеният орбитален период на Марс, а TЗ =1 година. Следователно:

T_M=T_{SYN}T_{\text{З}}/(T_{SYN}-T_{\text{З}})

T_M\approx388\ \text{денонощия}.

В другия случай в който Марс е бил накаран да стане вътрешна планета, за синодичния му период е в сила:

1/T_{SYN}=-1/T_{\text{З}}+1/T_M,

T_M=T_{SYN}T_{\text{З}}/(T_{SYN}+T_{\text{З}})

T_M\approx345\ \text{денонощия}.

За да намерим минималното разстояние между Марс и Земята, трябва първо да изчислим радиуса на новата марсианска орбита rM. Използваме връзката:

r[\mathrm{AU}]^3=T[\text{години}]^2

Оттук за двата случая пресмятаме:

r_M=1{,}041\ \mathrm{AU}\quad\text{и}\quad r_M=0{,}962\ \mathrm{AU}.

Следователно, ако Марс е външна планета минималното разстояние между него и Земята е 0,041 AU, а ако е вътрешна – 0,038 AU. Относно максималния блясък на Марс, първо ще разгледаме случая в който той е външна планета. Факторите, влияещи върху блясъка му, които се променят са следните: - намалява разстоянието Марс – Слънце rM, което води до по-голяма осветеност върху Марс и от там до повече отразявана светлина от него. Това увеличава яркостта на Марс за земния наблюдател; - намалява минималното разстояние Земя – Марс rЗ-М , което отново води до повишаване на видимия от Земята блясък на Марс. Всички други фактори, от които блясъка на Марс зависи, не се променят, за това можем да не ги отчитаме. За осветеността ЕМ, която Марс създава върху можем да запишем следното:

E_M\sim1/(r_M^2r_{\text{З-М}}^2)

На сегашната орбита на Марс имаме, че: rM = 1,524 AU , следователно в опозиция rЗ-М = 0,524 AU. След намесата на Михаела и Ивайло rM = 1,041 AU , следователно в опозиция rЗ-М = 0.041 AU. Това означава, че разстоянието Марс – Слънце намалява 1,46 пъти, а разстоянието Земя – Марс – 12,8 пъти. Следователно, блясъкът на Марс ще нарастне 350 пъти. От тук получаваме, че ако m e звездната му величина при сегашно противостоене, то тогава тя ще бъде:

m_1=m-2{,}5\lg(350)\approx-8^{\mathrm m}

Това е наистина удивително! Веднага трябва да кажем на Михаела и Иво да се захващат за работа!

В случая когато Марс става вътрешна планета, минималното сближаване ще съответства на конфигурация долно съединение. Тогава към нас ще е обърната изцяло тъмната част на планетата. Поради това, осветеността, която Марс ще създава върху нас в този момент ще бъде равна на 0.

Критерии за оценяване (12т.):

За напълно вярна задача, но без да е отчетен вторият случай се отнемат общо 4 т.

За правилен израз за синодичния период – 2 т.

За правилно изчислен сидеричен период – 1 т.

За съобразяване в каква конфигурация разстоянието е минимално – 1 т.

За правилно използване на третия закон на Кеплер – 1,5 т.

За правилно получена числена стойност – 0,5 т.

За правилно съобразяване на факторите от които зависи блясъкът на Марс и които се променят – 2т.

За правилна математическа постановка – 2т.

За правилен израз и вярна числена стойност – 1т.

За съобразяване на блясъка в случая за вътрешна планета – 1т.

Оригинал в Архива: NOA4_2011_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2011_STsolutions.pdf