НОА 2011, IV кръг, Старша възраст — Задача 3. Астероид

Астероидът е достатъчно голям и с достатъчно малки размери, за да считаме, че е точков източник на светлина. Дифракционният лимит на телескопа е $\alpha\prime\prime=14/D_{[\mathrm{cm}]}=0.23\prime\prime$, а мащабът на изображението $\delta=206265\prime\prime d_{px}/F=0.35\prime\prime/\mathrm{px}$. Следователно ще считаме, че астероидът заема един пиксел върху CCD матрицата на телескопа. Максималното време за експозиция ще бъде времето, за което астероидът преминава ъгловото разстояние, отговарящо на един пиксел – δ. Нека изчислим неговата ъглова скорост:

където Δv е относителната линейна скорост между Земята и астероида, а r = 3 au, разстоянието между тях. За да намерим скоростта на астероида, първо ще изчислим периода му от третия закон на Кеплер:

където от лявата страна на уравнението стоят периодът и голямата полуос на астероида, а от дясната тези на Земята в години и астрономически единици респективно. Получаваме за периода на астероида Т = 8 години. Изчисляваме неговата орбитална скорост:

Максималното време на екзпозиция ще бъде:

За това време, астероидът ще измине един пиксел върху кадъра и няма да се размие. За толкова време, фотони от него ще попадат в един пиксел, а ако продължим екзпозицията те ще започнат да попадат в съседния. Ако искаме да засечем астероида, няма смисъл да правим по-дълги експозиции, защото ако той не е засечен за това време, то при по-дълга екзпозиция той ще оставя същото количество фотони в съседни пиксели и никога няма да остави сигнал по-голям от този на фона в даден пиксел. Единственото спасение е да настроим телескопа, така че той да следи не звездите, а самия астероид. Нека все пак проверим дали експозицията от 51 s е достатъчна за неговото засичане. Осветеността върху CCD матрицата се определя от броя засечени от нея фотони. Можем да запишем закона на Погсън в следния вид:

където от ляво стоят броят фотони паднали от Вега и астероида на един квадратен сантиметър за секунда, а от дясно разликата в звездните им величини. Можем да изчислим, че от астероида всяка секунда идват приблизително 0.0004 фотона на кв. сантиметър ($0.0004\ \text{ф.}\,\mathrm{s^{-1}\,cm^{-2}}$). От CCD камерата се засичат 60% от всички фотони попаднали върху огледалото на телексопа за определеното време на експонация.

Сега да проверим колко фотона от небето ще попаднат върху същия и съседните пиксели. Аналогично изчисляваме, че от всяка квадратна дъгова секунда от небето идват $N_{\text{небе}}=0.0001\ \text{ф.}\,\mathrm{s^{-1}\,cm^{-2}\,arcsec^{-2}}$. Тъй като небето, за разлика от астероида, е площен източник, то осветеността, която то ще създава върху камерата ще зависи от квадрата на светлосилата на телескопа D/F. Нека проверим как става това. Ъгловата площ, която вижда един пиксел от CCD камерата е $\delta^2=d_{px}^2/F^2$. Пълният брой фотони попаднали от небето върху един пиксел ще бъде:

Виждаме, че фотоните, попадащи от астероида са много повече, от тези попадащи от тъмното небе. Следователно експозиция от 51 s ще бъде напълно достатъчна за засичането на този астероид. Нека да дискутираме влиянието на земната атмосфера. Тя поглъща част от фотоните и размива изображението. Дифракционният лимит на телескопа беше около 0.23″/px. Такова изображение в редки случаи можем да получим само на най-добрите места за наблюдение от Земята – пустинята Атакама в Чили, Канарските или Хавайските острови. В повечето обсерватории обаче изображението е размито до 1 – 2 дъгови секунди. В такъв случай астероидът ще се разположи на няколко пиксела върху камерата и сигналът му ще падне (фонът на небето няма да се промени). За сметка на това, обаче ще можем да си позволим по-дълга експозиция, тъй като астероидът ще трябва да измине няколко пиксела преди да се размие.

Критерии за оценяване (17т.):

За изчисляване ъгловата скорост на астероида и максималната експозиция – 5 т.

За изчисляване колко фотона от астероида попадат във фокуса на телескопа – 5 т.

За изчисляване колко фотона попадат от небето – 5 т.

За коментари по влиянието на земната атмосфера – 2 т.