Съдържание

НОА 2011, IV кръг, Старша възраст — Задача 5. Комета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2011

XIV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · IV кръг · Теоретичен тур · Старша възраст · 17 т.

Условие

Разглеждаме комета, която обикаля около Слънцето по елиптична орбита. Прекарваме права, лежаща в орбиталната равнина и минаваща през Слънцето. Правата разделя кометната орбита на две части. Да се докаже, че при каквато и да е ориентация на правата, когато кометата изминава всяка от двете части от орбитата си, тя получава еднакви общи количества слънчева енергия. Изменението на размера на ядрото и опашката на кометата в близост до Слънцето да не се отчита.

Решение

На схемата е показана кометната орбита, като прекараната права я пресича в точките A и B, както е показано на схемата.

Кометна орбита, разделена от права AB през Слънцето; два малки сектора S1 и S2.

Разглеждаме два клонящи към нула времеви интервала Δt1 и Δt2 през които кометата изминава пътища, виждащи се под един и същи ъгъл от Слънцето. Понеже тези два интервала са много малки, то можем да считаме, че по време на тях кометата остава на постоянни разстояния от Слънцето, които означаваме, съответно с r1 и r2. Отново, поради същата причина, можем да считаме, че скоростите й, v1 и v2 не се променят, а преместванията в двата случая са отсечки с дължини, съответно:

x_1=v_1\Delta t_1\quad\text{и}\quad x_2=v_2\Delta t_2.

Тъй като, тези премествания се виждат под един и същи ъгъл, то можем да запишем, че:

x_1\sim r_1\quad\text{и}\quad x_2\sim r_2.

За описваните от радиус – вектора комета – Слънце площи, можем да запишем:

S_1\sim x_1r_1\sim r_1^2\quad\text{и}\quad S_2\sim x_2r_2\sim r_2^2.

Съгласно втория закон на Кеплер, кометата се движи по своята орбита с постоянна площна скорост, поради, което е в сила следното равенство:

S_1/S_2=\Delta t_1/\Delta t_2.

Следователно:

\Delta t_1/\Delta t_2=r_1^2/r_2^2.

Енергиите, които кометата получава от Слънцето през двата интервала от време са пропорционални на произведенията на съответните осветености I1 и I2 и съответните интервали от време. Но от друга страна можем да твърдим, че:

I_1\sim1/r_1^2\quad\text{и}\quad I_2\sim1/r_2^2.

И така, за погълнатите енергии слънчева светлина получаваме:

E_1\sim I_1\Delta t_1\quad\text{и}\quad E_2\sim I_2\Delta t_2.

Отношението им е:

E_1/E_2=(I_1/I_2)(\Delta t_1/\Delta t_2)=(r_2^2/r_1^2)(r_1^2/r_2^2)=1.

По същия начин можем да разделим целите участъци, които кометата изминава. Сумарната енергия, която тя получава във всяка една от двете части на орбитата е сума от тези малки енергии, които се поглъщат от нея в съответните малки участъци. Следователно и сумарната енергия ще е една и съща.

Критерии за оценяване (17т.):

За правилен подход към задачата, чрез разделяне на двете части от орбитата й на малки частички – 4т.

За изразяване на отношението на лицата, чрез отношението на разстоянията – 3т.

За правилно прилагане на втория закон на Кеплер – 3т.

За правилно определяне на отношението на времевите интервали – 2т.

За изразяване на отношението на осветеностите – 2т.

За правилно съобразяване на количеството получена енергия – 2т.

За получаване, че енергиите са равни – 1т.

Оригинал в Архива: NOA4_2011_STproblems.pdf · официални решения: NOA4_2011_STsolutions.pdf