Съдържание

НОА 2012, I кръг (общински), 5–12 клас — Задача 20. 2 задача. Хипарх. (Възрастова група XI-XII клас)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2012

XV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ — ТЕМА за общинския кръг на олимпиадата по астрономия, 2011/2012 учебна година · 10 т.

Указания (Възрастова група V-VI клас)

Задачите можете да решавате сами вкъщи или да ги обсъждате със съученици и приятели. За решаването на някои от тях ще са ви нужни числени данни, които не са дадени в условията. Ще ви потрябват знания, които не се учат в училище, или пък ще срещнете думи, чието значение може би не знаете. Потърсете необходимата информация в книги, учебници, Интернет. Обърнете се за помощ към вашите учители.

Но все пак имайте предвид: Писмени работи с цели пасажи от текст, копирани от Интернет, преписани буквално от книги или повтарящи се с други писмени работи, ще бъдат анулирани! Писмените работи трябва да са подготвени самостоятелно. В тях всичко прочетено и научено трябва да обясните с ваши оригинални мисли.

Обяснявайте вашите отговори!

Указания (Възрастова група VII-VIII клас)

Обяснявайте вашите отговори!

Указания (Възрастова група IX-X клас)

Обяснявайте вашите отговори!

Указания (Възрастова група XI-XII клас)

Обяснявайте вашите отговори!

Условие

Знаменитият древногръцки астроном Хипарх е направил опит за определяне на разстоянието от Земята до Луната. Той е живял във II век пр.н.е. Тогава вече е бил определен земният радиус от друг древногръцки учен Ератостен, така че ще считаме този радиус за известен на Хипарх. Известно му е било също и разстоянието между египетските градове Сиена и Александрия. При наблюдение на слънчево затъмнение по времето на Хипарх е станало ясно, че в момента, когато в Сиена затъмнението е било пълно, в Александрия то е било частично, като 1/5 от диаметъра на слънчевия диск е останала открита. Нека предположим за простота, че пълното затъмнение се е наблюдавало по пладне и за Сиена Слънцето е било в зенита. С положителност Хипарх е знаел и какъв е видимият диаметър на слънчевия диск.

• Опишете математически начина, по който от тези данни може да се определи разстоянието от Земята до Луната.

Отговори

Решение

За метода на Ератостен, по който той е определил радиуса на Земята, е важно обстоятелството, че градовете Сиена и Александвия лежат почти на един и същ земен меридиан. Както е известно, той е използвал наблюдателния факт, че около лятното слънцестоене по пладне във водата на кладенците в Сиена се вижда отражението на Слънцето. Следователно тогава Слънцето е в зенита за Сиена. В същия този момент Ератостен е определял видимото отстояние на Слънцето от зенита, наблюдавано от Александрия (чрез измерване на сянката на вертикално колче). Обстоятелството, че двата града са приблизително на един земен меридиан, има значение също и за начина, по който Хипарх се е опитвал да определи разстоянието от Земята до Луната. От него следва, че ако при пълното слънчево затъмнение Слънцето в Сиена се е наблюдавало в зенита, т.е. в горна кулминация, то в Александрия то също е било в горна кулминация. Тъй като Луната е доста по-близо до Земята, отколкото Слънцето, когато е била наблюдавана от Александрия, нейното видимо положение е било отместено спрямо слънчевия диск. Както се вижда от схемата, линиите от двата земни пункта към центъра на Луната сключват ъгъл, равен на 1/5 от диаметъра на видимия слънчев диск. Нека с $\delta$ да отбележим ъгъла между направленията от центъра на Земята към Александрия и към Сиена, а с $\delta_0$ – диаметъра на видимия диск на Слънцето, който е бил известен на Хипарх. Означаваме с $r$ разстоянието между центровете на Земята и Луната, а с $x$ дължината на перпендикуляра към правата, свързваща центровете на Земята и Луната. Дължината на дъгата s – разстоянието по земната повърхност между двата града – също е била известна на Хипарх, както и радиусът на Земята $R$ .

Схема: окръжност „Земя“ с център, радиус R към „Александрия“ и отсечка към „Сиена“, ъгъл δ между тях, дъга s и перпендикуляр x; от двата града линии към малка окръжност „Луна“, разстояния d и r - d по правата през центровете на Земята и Луната; при Луната ъгъл 1/5 δ₀ между линиите, надпис „към центъра на видимия слънчев диск“. Вдясно долу два кръга: тъмен диск „Изглед от Сиена пълно слънчево затъмнение“ и частично закрит слънчев диск „Слънце“/„Луна“ с означения δ₀ и 1/5 δ₀ – „Изглед от Александрия частично слънчево затъмнение“.

Можем да напишем следните съотношения:

$\delta = s / R$ , където $\delta$ е в радиани ( $\delta^{\circ} = \delta_{rad} \,.\, 180^{\circ} / \pi$ )

d = R / \cos \delta

x = R / \sin \delta

x = (r - d)\ \mathrm{tg}\,(\delta_0 / 5)

Следователно:

R / \sin \delta = (r - d)\ \mathrm{tg}\,(\delta_0 / 5)

Оттук последователно получаваме:

R / \sin \delta = (r - R / \cos \delta)\ \mathrm{tg}\,(\delta_0 / 5)

r = R\,(1 / \sin \delta + \mathrm{tg}\,(\delta_0 / 5) / \cos \delta) / \mathrm{tg}\,(\delta_0 / 5)

Така от известните данни намираме търсеното разстояние от Земята до Луната. Тригонометричните функции не биха били пречка за пресмятанията на Хипарх по принцип, защото наред с другите си забележителни научни приноси, той е известен с това, че е основоположник на тригонометрията, макар да е боравил не с функциите, както ги използваме днес, а със съставени от него тригонометрични числени таблици.

Критерии за оценяване:

За правилна представа защо ако в Сиена затъмнението е пълно, то в Александрия е частично – 2 т.

За математическо свързване на видимото отместване на Луната от слънчевия диск в Александрия с разстоянието между двата града – 3 т.

За окончателно извеждане на метод за изчисляване на разстоянието от Земята до Луната – 5 т..

Бележка след задачите (Възрастова група V-VI клас)

Разгледайте страницата на олимпиадата в Интернет: http://astro-olymp.org

В нея ще видите изображенията в тези задачи с много по-добро качество, отколкото на напечатаните на лист текстове.

Можете да видите и задачите за всички кръгове на последните няколко астрономически олимпиади, заедно с техните решения. В раздела, наречен “Пищов” има информация, която ще ви помогне да решавате астрономически задачи. Засега тази информация е изложена във вид, който е подходящ повече за учениците от VII до XII клас.

Решенията на задачите предайте на вашите учители по предмета „Човекът и природата”.

Краен срок за предаване на решенията – 10 януари 2012 г.

Бележка след задачите (Възрастова група VII-VIII клас)

Разгледайте страницата на олимпиадата в Интернет: http://astro-olymp.org

Решенията на задачите предайте на вашите учители по предмета „Физика и астрономия”.

Краен срок за предаване на решенията – 10 януари 2012 г.

Бележка след задачите (Възрастова група IX-X клас)

Разгледайте страницата на олимпиадата в Интернет: http://astro-olymp.org

Решенията на задачите предайте на вашите учители по предмета „Физика и астрономия”.

Краен срок за предаване на решенията – 10 януари 2012 г.

Бележка след задачите (Възрастова група XI-XII клас)

Разгледайте страницата на олимпиадата в Интернет: http://astro-olymp.org

Решенията на задачите предайте на вашите учители по предмета „Физика и астрономия”.

Краен срок за предаване на решенията – 10 януари 2012 г.

Оригинал в Архива: 12-I.pdf · официални решения: a12-I.pdf