НОА 2012, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 2. Лунен кратер

• • $h = r\,\mathrm{tg}\,(\alpha + 0.5°/2) = 10\ \text{км}\cdot\mathrm{tg}\,2.25° \approx 393\ \text{м}$

  При точков източник $h = r\,\mathrm{tg}\,\alpha \approx 349$ м; при отчитане на видимия ъглов диаметър на Слънцето $0.5°$ ъгълът става $2.25°$ и $h \approx 393$ м. Височината на вала трябва да е по-голяма от тази стойност.

Решение:

Когато Земята заедно с Луната обикалят около Слънцето, оста на Луната, също както и оста на Земята, остава успоредна сама на себе си. Затова в определени моменти от годината оста на Луната е ориентирана спрямо Слънцето така, че условията за огряване на дъното на кратера са най-благоприятни. Условието да има замръзнала вода в кратера в такива моменти е слънчевите лъчи да не достигат до центъра на дъното на кратера. Това става при минимална височина на вала на кратера $h$. В лявата част на схемата по-долу се вижда, че при най-благоприятно разположение на лунната ос спрямо Слънцето, слънчевите лъчи падат на повърхността около лунния полюс под ъгъл $\alpha = 2°$, равен на наклона на лунната ос спрямо вертикалата към еклиптиката. Ъгълът между падащия слънчев лъч и хоризонталната равнина за наблюдател на полюса е равен на ъгъла между лунната ос и перпендикуляра към еклиптиката, като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене.

От схемата на кратера вдясно виждаме, че за минималната височина на вала е в сила съотношението $h = r\,\mathrm{tg}\,\alpha$, където $r = 20$ км $/2 = 10$ км е радиусът на кратера. Така получаваме $h \approx 349$ м. За да има на дъното област със замръзнала вода, височината на вала на кратера трябва да е по-голяма от 349 м.

Това решение е валидно, ако считаме Слънцето за точков обект. То, обаче има видим ъглов диаметър около $0.5°$. Ъгълът на падане към лунната повърхност на лъч, идващ от най-горната точка на видимия слънчев диск ще бъде $\alpha + 0.5°\,/\,2 = 2.25°$. В този случай за минималната височина на вала получаваме $h = r\,\mathrm{tg}\,2.25° \approx 393$ м. Следователно височината на вала на кратера трябва да е по-голяма от 393 м.

Критерии за оценяване (общо 8 т.):

• За правилно описание на най-благоприятните условия за огряване на дъното на кратера – 1 т.
• За правилно геометрично представяне на решението за височината – 2 т.
• За правилна формула за височината – 1 т.
• За верен числен резултат – 1 т.
• Ако пресмятанията са направени при отчитане на ъгловия размер на Слънцето – 3 т.